符号函数的分析表达式1

castelu

符号函数的分析表达式1

　　我们知道，符号函数$f(x)={\rm sgn}x$是数学分析中重要的函数，除了利用分段函数的形式表示以外，它还有一种无穷积分的分析表达式：${\rm sgn} \alpha=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x$。
　　我们证明${\rm sgn} \alpha=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x$：
　　考察无穷积分$\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x$：
当$\alpha=0$时，
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x=0$$
当$\alpha \ne 0$时，构造含参量反常积分
$$I(y)=\int_0^{+\infty} e^{-xy} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x$$
关于$y$求导
$$I'(y)=\frac{\rm d}{{\rm d}y} \int_0^{+\infty} e^{-xy} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x$$
$$=\int_0^{+\infty} \frac{\rm \partial}{{\rm \partial} y} e^{-xy} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x（一致收敛，交换积分与求导次序）$$
$$I'(y)=-\int_0^{+\infty} e^{-xy} \sin \alpha x{\rm d}x$$
首次分部积分，得到
$$\alpha I'(y)=-1+y\int_0^{+\infty} e^{-xy} \cos \alpha x{\rm d}x$$
再次分部积分，得到
$$\alpha^2I'(y)+\alpha=y^2\int_0^{+\infty} e^{-xy} \sin \alpha x{\rm d}x$$
利用复原法，即有
$$\alpha^2I'(y)+\alpha=-y^2I'(y)$$
解方程，即有
$$I'(y)=-\frac{\alpha}{\alpha^2+y^2}$$
两边不定积分，即有
$$I(y)=\int -\frac{\alpha}{\alpha^2+y^2}{\rm d}y=-\arctan \frac{y}{\alpha}+C$$
考察极限
$$\lim\limits_{y \rightarrow +\infty} I(y)=\lim\limits_{y \rightarrow +\infty} \int_0^{+\infty} e^{-xy} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x=0$$
于是
$$C=\frac{\pi}{2}{\rm sgn}\alpha$$
代入构造的含参量反常积分
$$I(y)=\int_0^{+\infty} e^{-xy} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x=-\arctan \frac{y}{\alpha}+\frac{\pi}{2}{\rm sgn}\alpha$$
令$y=0$，得到
$$\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x=\frac{\pi}{2}{\rm sgn}\alpha$$
等式变形，得到
$${\rm sgn}\alpha=\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x$$
综合以上分析
$${\rm sgn}\alpha=
\left\{ \begin{array}{l}
0,\alpha=0\\
\frac{2}{\pi}\int_0^{+\infty} \frac{\sin \alpha x}{x}{\rm d}x,\alpha \ne 0
\end{array} \right.
$$