有关黄金分割的极限问题

castelu

有关黄金分割的极限问题

　　我们知道，黄金分割比例$\Phi=\frac{\sqrt5-1}{2}$是数学中重要的常数，除了出现在初等几何学以外，它还与两类数列极限相关。
　　我们介绍两类与黄金分割比例$\Phi=\frac{\sqrt5-1}{2}$相关的数列极限：
1.$a_n=\frac{1}{a_{n-1}+1}$，$a_1>-1$
根据$a_1>-1$，利用数学归纳法可证
$$0<a_i<1（i=3,4,\cdots,n）$$
考察${a_n}$的两个子列
$$a_{2k-1}和a_{2k}（k=1,2,\cdots,n）$$
易知
$$a_{2k-1} \in (\frac{\sqrt5-1}{2},+\infty)，a_{2k} \in (0,\frac{\sqrt5-1}{2})$$
$$a_{2k-1}-a_{2k-3}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2k-3}}}-a_{2k-3}$$
$$=-\frac{(a_{2k-3}+\frac{\sqrt5+1}{2})(a_{2k-3}+\frac{\sqrt5-1}{2})}{a_{2k-3}+2}<0$$
所以，${a_{2k-1}}$单调递减有下界，根据单调有界数列收敛定理，${a_{2k-1}}$收敛
$$a_{2k}-a_{2k-2}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a_{2k-2}}}-a_{2k-2}$$
$$=-\frac{(a_{2k-2}+\frac{\sqrt5+1}{2})(a_{2k-2}+\frac{\sqrt5-1}{2})}{a_{2k-2}+2}>0$$
${a_{2k}}$单调递增有上界，根据单调有界数列收敛定理，${a_{2k}}$收敛，综上所述，${a_n}$收敛，设
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-1}=a$$
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-1}=\frac{1}{1+\frac{1}{1+\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-3}}}$$
$$a=\frac{1}{1+\frac{1}{1+a}}$$
化简得到
$$a^2+a-1=0$$
由于$a>0$，解得
$$a=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
所以
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
于是
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=\frac{\sqrt5-1}{2}$$

2.$a_n=\sqrt{1-a_{n-1}}$，$0<a_1<1$
根据$0<a_1<1$，利用数学归纳法可证
$$0<a_i<1（i=2,3,\cdots,n）$$
考察${a_n}$的两个子列
$$a_{2k-1}和a_{2k}（k=1,2,\cdots,n）$$
易知
$$a_{2k-1} \in (0,\frac{\sqrt5-1}{2})，a_{2k} \in (\frac{\sqrt5-1}{2},+\infty)$$
$$a_{2k-1}-a_{2k-3}=\sqrt{1-\sqrt{1-a_{2k-3}}}-a_{2k-3}$$
$$=\frac{1-\sqrt{1-a_{2k-3}}-a_{2k-3}^2}{\sqrt{1-\sqrt{1-a_{2k-3}}}+a_{2k-3}}>0$$
所以，${a_{2k-1}}$单调递增有上界，根据单调有界数列收敛定理，${a_{2k-1}}$收敛
$$a_{2k}-a_{2k-2}=\sqrt{1-\sqrt{1-a_{2k-2}}}-a_{2k-3}$$
$$=\frac{1-\sqrt{1-a_{2k-2}}-a_{2k-2}^2}{\sqrt{1-\sqrt{1-a_{2k-2}}}+a_{2k-2}}<0$$
${a_{2k}}$单调递减有下界，根据单调有界数列收敛定理，${a_{2k}}$收敛，综上所述，${a_n}$收敛，设
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-1}=a$$
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-1}=\sqrt{1-\sqrt{1-\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-3}}}$$
$$a=\sqrt{1-\sqrt{1-a}}$$
化简得到
$$a^3-2a+1=0$$
因式分解得到
$$(a-1)(a^2+a-1)=0$$
由于$0<a<1$，解得
$$a=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
所以
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_{2k-1}=\frac{\sqrt5-1}{2}$$
于是
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} a_n=\frac{\sqrt5-1}{2}$$