有关素数和完全平方数

chunqiuzhuan

已知整数a,b满足：a-b为素数，且ab（乘积）是完全平方数，当a≥2012时，求a的最小值

洛戛

castelu 发表于 2014-5-3 17:14
设a-b=m（m是素数），ab=n2（n是正整数）．
∵(a+b)2-4ab=(a-b)2，
∴(2a-m)2-4n&#1 ...

这个已经不是初中问题了吧

chunqiuzhuan

谢谢，找到了原来的笔记，你写错了一步，要先分类讨论，看b等于或不等于零的情况，0也是完全平方数，答案是a=2017，b=0

castelu

设a-b=m（m是素数），ab=n²（n是正整数）．
∵(a+b)²-4ab=(a-b)²，
∴(2a-m)²-4n²=m²，
即：(2a-m+2n)(2a-m-2n)=m²．
∵2a-m+2n与2a-m-2n都是正整数，且2a-m+2n>2a-m-2n （m为素数），
∴2a-m+2n=m²，2a-m-2n=1，
解得：a=(m+1)²/4，n=(m²-1)/4，
∴b=a-m=(m-1)²/4，
∵a≥2012，
∴(m+1)²/4≥2012，
∵m是素数，解得：m≥89，
此时，a≥(89+1)²/4=2025，
当a=2025时，m=89，b=1936，n=1980．
∴a的最小值为2025