关于函数周期的问题 老大靠你了

CheatingCat

f是R上有界实函数，且f（x+13/42）+f（x）=f（x+1/6）+f（x+1/7）对任意的x属于R成立，试求f的较小正周期
ps：证明1/42是一个正周期就可以了 后面好像还可以继续讨论下去

CheatingCat

这个只能证明1是f的周期，百度上有的
现在要证明1/42是一个周期

castelu

解：因为对任何x∈R,有
f(x+13/42)+f(x)=f(x+1/6)+f(x+1/7)，
故f(x+7/42)-f(x)=f(x+13/42)-f(x+6/42)
````````````````=f(x+19/43)-f(x+12/42)
````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+42/42).
即f(x+42/42)-f(x)=f(x+49/42)-f(x+7/42)……(1)
同样,有
f(x+7/42)-f(x+1/42)=f(x+14/42)-f(x+8/42)
```````````````````=f(x+21/42)-f(x+15/42)
```````````````````=……=f(x+49/42)-f(x+43/42)-f(x)
即f(x+49/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)……(2)
由(1)(2),得
f(x+42/42)-f(x)=f(x+43/42)-f(x+1/42)
```````````````=f(x+44/42)-f(x+2/42)
```````````````=……=f(x+84/42)-f(x+42/42),
即f(x+1)-f(x)=f(x+2)-f(x+1).
因此,f(x+n)=f(x)+n[f(x+1)-f(x)]对所有n∈N成立.
又因为对所有x∈R,|f(x)|≤1,即f(x)有界,故只有f(x+1)-f(x)≡0.
因此对所有x∈R,f(x+1)=f(x),即f(x)为周期函数