【迎14高考】每日一题 数列 真题训练

castelu

设函数${f_n}\left( x \right) = - 1 + x + \frac{{{x^2}}}{{{2^2}}} + \frac{{{x^3}}}{{{3^2}}} + \cdots + \frac{{{x^n}}}{{{n^2}}}$（$x \in R,n \in {N^*}$）。证明：
（I）对每个$n \in {N^*}$，存在唯一的${x_n} \in \left[ {\frac{2}{3},1} \right]$，满足${f_n}\left( {{x_n}} \right) = 0$；
（II）对任意$p \in {N^*}$，由（I）中$x_n$构成的数列$\left\{ {{x_n}} \right\}$满足$0 < {x_n} - {x_{n + p}} < \frac{1}{n}$。

castelu

上述答案正确

Hsuan

考点：反证法与放缩法；函数的零点；导数的运算；数列的求和；数列与不等式的综合．