裴礼文 级数 535页 练习5.2.18 解答

castelu

练习5.2.18：

　　试证：$\forall \alpha: 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$，函数项级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)^n\tan^nx$在$[0,a]$上一致收敛。若记其和函数为$S(x)$，试证$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}S(x)=+\infty$。

---

解：
　　记
$$f(x)=x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x$$
　　可以证明$f(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$单调上升。
　　为此令
$$g(x)=x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)-\cot x, x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
　　因为
$$g'(x)=\left(1-\frac{4x}{\pi}\right)+\csc^2x>0$$
　　所以$g(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$单调上升
　　从而
$$\forall x_1, x_2 \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
　　当
$$x_1 < x_2$$
　　时有：
$$x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)-\cot x_1 < x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)-\cot x_2$$
　　或
$$\cot x_1 \left[ x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)\tan x_1-1 \right] < \cot x_2 \left[ x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)\tan x_2-1 \right]$$
　　于是
$$x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)\tan x_1-1<\frac{\tan x_1}{\tan x_2}\left[ x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)\tan x_2-1 \right]$$
　　此即
$$x_1\left(1-\frac{2x_1}{\pi}\right)\tan x_1<x_2\left(1-\frac{2x_2}{\pi}\right)\tan x_2$$
　　又
$$\lim\limits_{x \to 0^+}f(x)=0,\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}f(x)=1$$
　　但已证$f(x)$在$\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$单调上升
　　所以
$$f(x)<1, x \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$$
　　特别对
$$\forall x \in [0,a]$$
$$f(x)=x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x \le f(a)=r<1\left(0<a<\frac{\pi}{2}\right)$$
　　于是由$M$判别法，因为$\sum\limits_{n=1}^{\infty}r^n$收敛，所以$\sum\limits_{n=1}^{\infty}x^n\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)^n\tan^nx$在$[0,a]$上一致收敛。
　　又
$$S(x)=\frac{x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x}{1-x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x}>0（因为x\left(1-\frac{2x}{\pi}\right)\tan x<1）$$
　　所以
$$\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}S(x)=\lim\limits_{x \to \frac{\pi}{2}-0}\frac{f(x)}{1-f(x)}+\infty$$