裴礼文 级数 536页 练习5.2.19 解答

castelu

练习5.2.19：
　　证明：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^2+n}{n^2}$在任何有穷区间上一致收敛，而在任何一点都不绝对收敛。

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解：
（1）对任何有穷区间$I$，$\exists M_l>0$，使得对一切$x \in I$有$\frac{x^2}{n} \le M_l$。
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}$$
　　在$I$上一致收敛；
　　对$\forall x \in I$
$$\frac{x^2+n}{n}=\frac{x^2}{n}+1$$
　　单调减且
$$\frac{x^2}{n}+1 \le M_l^2+1$$
　　即是一致有界的。
　　由$Abel$判别法知在任何有穷区间$I$上，级数
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^2+n}{n^2}$$
　　一致收敛。
（2）对$\forall x_0 \in R$
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^n\frac{x_0^2+n}{n^2}\right|=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x_0^2}{n^2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$
　　由于
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x_0^2}{n^2}$$
　　收敛
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$$
　　发散，故
$$\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{x^2+n}{n^2}$$
　　不绝对收敛。