蓝以中上册 向量空间与矩阵 98页 习题三13 解答

castelu

习题三13：
　　设$\gamma_0$是数域$K$上的线性方程组的一个特解，$\eta_1$，$\eta_2$，$\cdots$，$\eta_s$是其导出方程组的一个基础解系。令
$$\gamma_1=\gamma_0+\eta_1, \gamma_2=\gamma_0+\eta_2, \cdots, \gamma_s=\gamma_0+\eta_s$$
　　证明：线性方程组的任一解$\gamma$可表成
$$\gamma=k_0\gamma_0+k_1\gamma_1+\cdots+k_s\gamma_s$$
　　其中
$$k_0+k_1+\cdots+k_s=1$$

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解：
　　由于线性方程组的任一解，可以写成一个特解与它的导出组的一个任意解的和，即
$$\gamma=\gamma_0+u_1\eta_1+u_2\eta_2+\cdots+u_s\eta_s$$
　　又由题设知
$$\eta_1=\gamma_1-\gamma_0, \eta_2=\gamma_2-\gamma_0, \cdots, \eta_s=\gamma_s-\gamma_0$$
　　因此上式为
$$\begin{eqnarray*}
\gamma&=&\gamma_0+u_1(\gamma_1-\gamma_0)+u_2(\gamma_2-\gamma_0)+\cdots+u_s(\gamma_s-\gamma_0)\\
&=&[1-(u_1+u_2+\cdots+u_s)]\gamma_0+u_1\gamma_1+u_2\gamma_2+\cdots+u_s\gamma_s
\end{eqnarray*}$$
　　令
$$\left\{ \begin{array}{l}
k_0=1-(u_1+u_2+\cdots+u_s)\\
k_1=u_1\\
\vdots\\
k_s=u_s
\end{array} \right.$$
　　就有
$$\gamma=k_0\gamma_0+k_1\gamma_1+\cdots+k_s\gamma_s$$
　　其中
$$k_0+k_1+\cdots+k_s=1$$