蓝以中上册 线性空间与线性变换 329页 习题四23 解答

castelu

习题四23：
　　设$A$是复数域上$n$维线性空间$V$内的线性变换。如果对$A$的任意不变子空间$M$，都存在$A$的不变子空间$N$，使$V=M \oplus N$。证明$A$的矩阵可对角化。

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解：
　　因为$V$是复数域上的$n$维线性空间
　　故$A$必有一特征值$\lambda_0$
　　设$\alpha$为对应的特征向量
　　则
$$M=L(\alpha)$$
　　为$A$的一维不变子空间
　　按假设，存在$A$的不变子空间$N$
　　使
$$V=M \oplus N$$
　　这里
$$\dim N=n-1$$
　　我们来证明$A|_N$也满足题中的条件
　　设
$$M_1 \subseteq N$$
　　是$A|_N$的一个不变子空间
　　则$M_1$是$A$在$V$内的不变子空间
　　按假设，存在$A$的不变子空间$N_1$
　　使
$$V=M_1 \oplus N_1$$
　　令
$$P=N_1 \cap N$$
　　则$P$是$A|_N$的不变子空间
　　易知
$$N=M_1 \oplus P$$
　　这表示$A|_N$也满足题中的条件
　　现在对
$$\dim V=n$$
　　来作数学归纳法
　　$n=1$，$A$在任一组基下矩阵是一阶方阵。总是对角矩阵，结论自然成立
　　假定题中结论对$n-1$维线性空间成立
　　则当
$$\dim V=n$$
　　时，上面已指
$$V=L(\alpha)\oplus N$$
　　$A|_N$也满足题中条件，于是$N$中存在一组基
$$\alpha_2,\cdots,\alpha_n$$
　　使
$$A\alpha_i=\lambda_i\alpha(i=2,3,\cdots,n)$$
　　令
$$\alpha_1=\alpha$$
　　则在$V$的基
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$$
　　下，$A$的矩阵成对角形。