蓝以中下册 带度量的线性空间 17页 习题一18 解答

castelu

习题一18：
　　设$A$是一个$n$阶实方阵，$|A| \ne 0$。证明$A$可分解为一个正交矩阵$Q$和一个上三角矩阵
$$T=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t_{11}}&{t_{12}}&{\cdots}&{t_{1n}}\\
{}&{t_{22}}&{\cdots}&{t_{2n}}\\
{}&{}&{\ddots}&{\vdots}\\
{}&{}&{}&{t_{nn}}
\end{array}} \right)(t_{ii}>0,i=1,2,\cdots,n)$$
　　的乘积：$A=QT$。并证明这种分解是唯一的。

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解：
　　设$A$的列向量组是
$$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n$$
　　则它是$R^n$的一组基
　　按$Schmidt$正交化方法将它正交化再单位化
　　即得$R^n$的一组标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　按照正交化公式，有
$$\left\{ \begin{array}{l}
\alpha_1=t_{11}\epsilon_1\\
\alpha_2=t_{12}\epsilon_1+t_{22}\epsilon_2\\
\cdots\\
\alpha_n=t_{1n}\epsilon_1+t_{2n}\epsilon_2+\cdots+t_{nn}\epsilon_n
\end{array} \right.(t_{ii}>0,i=1,2,\cdots,n)$$
　　写成矩阵形式，是
$$(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{t_{11}}&{t_{12}}&{\cdots}&{t_{1n}}\\
{0}&{t_{22}}&{\cdots}&{t_{2n}}\\
{\vdots}&{\ddots}&{\ddots}&{\vdots}\\
{0}&{\cdots}&{0}&{t_{nn}}
\end{array}} \right)$$
　　此时
$$A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$$
　　而
$$Q=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)$$
　　为$n$阶正交矩阵
　　按矩阵乘法，有
$$A=QT$$
　　现设又有正交矩阵$Q_1$和主对角线元素为正的实上三角矩阵$T_1$，使
$$A=Q_1T_1$$
　　则
$$Q_1^{-1}Q=T_1T^{-1}$$
　　现在$Q_1^{-1}Q$仍为正交矩阵
　　而$T_1T^{-1}$仍为实上三角矩阵
　　设
$$Q_1^{-1}Q=T_1T^{-1}=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{s_{11}}&{s_{12}}&{\cdots}&{s_{1n}}\\
{}&{s_{22}}&{\cdots}&{s_{2n}}\\
{}&{}&{\ddots}&{\vdots}\\
{}&{}&{}&{s_{nn}}
\end{array}} \right)$$
　　其行、列向量组均为$R^n$的标准正交基
　　由第$1$列推知
$$s_{11}^2=1$$
　　然后由第$1$行推知
$$s_{11}^2+s_{12}^2+\cdots+s_{1n}^2=1$$
　　则
$$s_{12}=\cdots=s_{1n}=0$$
　　以此类推即知
$$s_{ii}^2=1,s_{ij}=0(j \ne i)$$
　　现在$s_{11}$为$T_1^{-1}$和$T$的主对角线上第$i$个元素的乘积
　　因为$T,T_1$主对角线上元素均为正实数，故$T_1^{-1}$主对角线上元素也都为正实数
　　这表示
$$s_{ii}>0$$
　　于是
$$s_{ii}=1$$
　　即
$$Q_1^{-1}Q=T_1T^{-1}=E$$
　　因而有
$$Q_1=Q,T_1=T$$