蓝以中下册 带度量的线性空间 40页 习题二13 解答

castelu

习题二13：
　　设$A$是$n$维欧式空间$V$中的一个线性变换，如果
$$A^*=-A$$
　　即对任意
$$\alpha,\beta \in V$$
　　有
$$(A\alpha,\beta)=-(\alpha,A\beta)$$
　　则称$A$是一个反对称变换。证明：
（1）$A$为反对称变换的充分必要条件是：$A$在某一组标准正交基下的矩阵是反对称矩阵；
（2）如果$M$是反对称变换$A$的不变子空间，则$M$的正交补$M^{\bot}$也是$A$的不变子空间。

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解：
（1）必要性
　　设$A$是反对称线性变换
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　是$V$的一组标准正交基
　　且$A$在基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵为$K=(k_{ij})$，则有
$$A\epsilon_1=k_{i1}\epsilon_1+k_{i2}\epsilon_2+\cdots+k_{in}\epsilon_n,i=1,2,\cdots,n$$
$$(A\epsilon_i,\epsilon_j)=k_{ij},(A\epsilon_j,\epsilon_i)=k_{ji}$$
　　由反对称知
$$(A\epsilon_i,\epsilon_j)=-(\epsilon_i,A\epsilon_j),k_{ij}=-k_{ji}$$
　　从而
$$k_{ij}=\left\{ \begin{array}{l}
0,i=j\\
-k_{ji},i \ne j
\end{array} \right.,i,j=1,2,\cdots,n$$
　　则
$$(A\epsilon_1,A\epsilon_2,\cdots,A\epsilon_n)=(\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{k_{12}}&{\cdots}&{k_{1n}}\\
{-k_{12}}&{0}&{\cdots}&{k_{2n}}\\
{\vdots}&{\vdots}&{}&{\vdots}\\
{-k_{1n}}&{-k_{2n}}&{\cdots}&{0}
\end{array}} \right)$$
　　充分性
　　设$A$在标准正交基
$$\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n$$
　　下的矩阵是反对称矩阵，即
$$(A\epsilon_j,\epsilon_j)=-(\epsilon_i,A\epsilon_j)$$
　　对任意
$$\alpha,\beta \in V$$
　　有
$$\alpha=a_1\epsilon_1+a_2\epsilon_2+\cdots+a_n\epsilon_n$$
$$\beta=b_1\epsilon_1+b_2\epsilon_2+\cdots+b_n\epsilon_n$$
　　于是
$$\begin{eqnarray*}
(A\alpha,\beta)&=&(a_1A\epsilon_1+\cdots+a_nA\epsilon_n,b_1\epsilon_1+\cdots+b_n\epsilon_n)\\
&=&\sum\limits_{i,j}a_ib_j(A\epsilon_i,\epsilon_j)=-\sum\limits_{i,j}a_ib_j(\epsilon_i,A\epsilon_j)\\
&=&-(a_1\epsilon_1+\cdots+a_n\epsilon_n,b_1A\epsilon_1+\cdots+b_nA\epsilon_n)\\
&=&-(\alpha,A\beta)
\end{eqnarray*}$$
　　故$A$为反对称线性变换。
（2）任取
$$\alpha \in M^{\bot}$$
　　任取
$$\beta \in V$$
　　由于$M$是$V$的不变子空间，所以
$$A\beta \in M$$
　　而
$$\alpha \in M^{\bot}$$
　　所以
$$(\alpha,A\beta)=0$$
　　再由题设$A$是反对称的，知
$$(A\alpha,\beta)=-(\alpha,A\beta)=0$$
　　由$\beta$的任意性，即证得
$$A\alpha \in M^{\bot}$$
　　从而$M^{\bot}$是$A$的不变子空间。