蓝以中下册 幂零线性变换的Jordan标准型 81页 习题一6 解答

castelu

习题一6：
　　设$A$是$n$维线性空间$V$内的一个循环幂零线性变换
$$\epsilon_1,\cdots,\epsilon_n$$
　　是它的一组循环基，试求$A$的全部不变子空间。

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解：
　　$A$是$n$维线性空间$V$内的一个循环幂零线性变换
　　此时必有$\alpha \in V$，使
$$A^{n-1}\alpha \ne 0$$
　　现在自然有
$$A^n\alpha=0$$
　　于是
$$A^{n-1}\alpha,A^{n-2}\alpha,\cdots,A\alpha,\alpha$$
　　成为$V$的一组循环基，在此组基下$A$的矩阵
$$J=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
{0}&{1}&{}&{}\\
{}&{0}&{\ddots}&{}\\
{}&{}&{\ddots}&{1}\\
{}&{}&{}&{0}
\end{array}} \right)_{n \times n}$$
　　记
$$\left\{ \begin{array}{l}
A^{n-1}\alpha=\epsilon_1\\
A^{n-2}\alpha=\epsilon_2\\
\cdots\\
\alpha=\epsilon_n
\end{array} \right.$$
　　那么
$$\left\{ \begin{array}{l}
A\epsilon_1=0\\
A\epsilon_2=\epsilon_1\\
\cdots\\
A\epsilon_n=\epsilon_{n-1}
\end{array} \right.$$
　　显然
$${\rm span}\left\{0\right\},{\rm span}\left\{\epsilon_1\right\},{\rm span}\left\{\epsilon_1,\epsilon_2\right\},\cdots,{\rm span}\left\{\epsilon_1,\epsilon_2,\cdots,\epsilon_n\right\}$$
　　是$A$的全部不变子空间。