蓝以中下册 一元多项式环 174页 习题二2 解答

castelu

习题二2：
　　设
$$f(x) \in R[x]$$
　　对任意$a \in R$，$f(a) \ge 0$。证明$f(x)$可表为
$$f(x)=g^2(x)+h^2(x)$$
　　其中
$$g(x),h(x) \in R[x]$$

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解：
　　不妨设$f(x) \ne 0$，在$R[x]$内
$$f(x)=a_0(x-a_1)^{k_1} \cdots (x-a_r)^{k_r}(x^2+p_1x+q_1)^{l_1} \cdots (x^2+p_sx+q_s)^{l_s}$$
　　其中
$$a_1,\cdots,a_r$$
　　为$f(x)$的实根，而
$$p_i^2-4q_i<0(i=1,2,\cdots,s)$$
　　若有某$k_i$为奇数，则存在$\epsilon>0$
　　使在区间
$$(a_i-\epsilon,a_i+\epsilon)$$
　　内$f(x)$改变符号，这与题设矛盾，故$k_i$均为偶数
　　又因
$$x \to +\infty$$
　　时
$$f(x) \to +\infty$$
　　故知
$$a_0>0$$
　　于是
$$a_0(x-a_1)^{k_1} \cdots (x-a_r)^{k_r}=c^2(x),c(x) \in R[x]$$
　　现在
$$\begin{eqnarray*}
x^2+p_ix+q_i&=&\left(x+\frac{1}{2}p_i\right)^2-\frac{1}{4}p_i^2+q_i\\
&=&\left(x+\frac{1}{2}p_i\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sqrt{4q_i-p_i^2}\right)^2
\end{eqnarray*}$$
　　对任意
$$g_1(x),g_2(x),h_1(x),h_2(x) \in R[x]$$
　　我们有
$$\begin{eqnarray*}
(g_1^2+h_1^2)(g_2^2+h_2^2)&=&(g_1+ih_1)(g_1-ih_1)(g_2+ih_2)(g_2-ih_2)\\
&=&[(g_1g_2-h_1h_2)+(g_1h_2+g_2h_1)i][(g_1g_2-h_1h_2)-(g_1h_2+g_2h_1)i]\\
&=&(g_1g_2-h_1h_2)^2+(g_1h_2+g_2h_1)^2
\end{eqnarray*}$$
　　综合上面的结果即知有
$$f(x)=g^2(x)+h^2(x)$$