单调函数

castelu

定义　设$f$为定义在$D$上的函数。若对任何$x_1$，$x_2 \in D$，当$x_1<x_2$时，总有
（i）$f\left( x_1 \right) \le f\left( x_2 \right)$，则称$f$为$D$上的增函数，特别当成立严格不等式$f\left( x_1 \right)<f\left( x_2 \right)$时，称$f$为$D$上的严格增函数；
（ii）$f\left( x_1 \right) \ge f\left( x_2 \right)$，则称$f$为$D$上的减函数，特别当成立严格不等式$f\left( x_1 \right)>f\left( x_2 \right)$时，称$f$为$D$上的严格减函数；
　　增函数和减函数统称为单调函数，严格增函数和严格减函数统称为严格单调函数。

定理1　设$f\left( x \right)$在区间$I$上可导，则$f\left( x \right)$在$I$上递增（减）的充要条件是：
$$f'\left( x \right) \ge 0（\le 0）。$$

定理2　若函数$f$在$\left( a,b \right)$内可导，则$f$在$\left( a,b \right)$内严格递增（递减）的充要条件是：
（i）对一切$x \in \left( a,b \right)$，有$f'\left( x \right) \ge 0$（$f'\left( x \right) \le 0$）；
（ii）在$\left( a,b \right)$内的任何子区间上$f'\left( x \right) \not \equiv 0$。

推论　设函数在区间$I$上可微，若$f'\left( x \right)>0$（$f'\left( x \right)<0$），则$f$在$I$上严格递增（严格递减）。