收敛数列的性质

castelu

定理1（唯一性）　若数列$\left\{a_n \right\}$收敛，则它只有一个极限。

定理2（有界性）　若数列$\left\{a_n \right\}$收敛，则$\left\{a_n \right\}$为有界数列，即存在正数$M$，使得对一切正整数$n$有
$$a_n \le M$$

定理3（保号性）　若$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n=a>0$（或$<0$）,则对任何$a' \in \left( 0,a \right)$（或$a' \in \left( a,0 \right)$），存在正数$N$，使得当$n>N$时有$a_n>a'$（或$a_n<a'$）。

定理4（保不等式性）　设$\left\{a_n \right\}$与$\left\{b_n \right\}$均为收敛数列。若存在正数$N_0$，使得当$n>N_0$时有$a_n \le b_n$，则$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n \le \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n$。

定理5（迫敛性）　设收敛数列$\left\{a_n \right\}$，$\left\{b_n \right\}$都以$a$为极限，数列$\left\{c_n \right\}$满足：存在正数${N_0}$，当$n>N_0$时有
$$a_n \le c_n \le b_n$$
　　则数列$\left\{c_n \right\}$收敛，且$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}c_n=a$。

定理6（四则运算法则）　若$\left\{a_n \right\}$与$\left\{b_n \right\}$为收敛数列，则$\left\{a_n+b_n \right\}$，$\left\{a_n-b_n \right\}$，$\left\{a_n \cdot b_n \right\}$也都是收敛数列，且有
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( a_n \pm b_n \right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n \pm \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n，$$
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( a_n \cdot b_n \right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n，$$
　　特别当$b_n$为常数$c$时有
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( a_n + c \right) = \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n + c，\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\left( c \cdot a_n \right) = c \cdot \lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n，$$
　　若再假设$b_n \ne 0$及$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_0 \ne 0$，则${\frac{a_n}{b_n}}$也是收敛数列，且有
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n} = \frac{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}b_n}。$$