高阶微分

castelu

　　我们知道函数$y=f(x)$的一阶微分是
$$dy=f'(x)dx，$$
　　其中变量$x$和$dx$是相互独立的。现将一阶微分只作为$x$的函数，若$f$二阶可导，那么$dx$对自变量$x$的微分
$$d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)dx \cdot dx=f''(x)(dx)^2，$$
　　或写作
$$d^2y=f''(x)dx^2，$$
称它为函数$f$的二阶微分。

注　这里$dx^2$是指$(dx)^2$；$d^2x$表示$x$的二阶微分$(d^2x=0)$；而$d(x^2)$则表示$x^2$的一阶微分$(d(x^2)=2xdx)$。三者不能混淆。

　　一般地，$n$阶微分是$n-1$阶微分的微分，记作$d^ny$，即
$$d^ny=d(d^{n-1}y)=d(f^{(n-1)}(x)dx^{n-1})=f^{(n)}(x)dx^n。$$
　　若将它写成
$$\frac{d^ny}{dx^n}=f^{(n)}(x)$$
　　时，就和$n$阶导数的记法一致了。
　　对$n \ge 2$的$n$阶微分均称为高阶微分。
　　一阶微分具有形式不变性，而对于高阶微分来说已经不具备这个性质了。以二阶微分为例，当$x$为$y=f(x)$的自变量时，
$$d^2y=f''(x)dx^2。$$
　　当$x$为复合函数$y=f(x)$，$x = \phi(t)$的中间变量时，$y=f(\phi(t))$作为$t$的函数，关于$t$的一阶微分可以写作
$$dy=f'(x)dx，$$
　　其中$dx= \phi'(t)dt$；而对$t$的二阶微分则为
$$d^2y = (f(\phi(t)))''dt^2=(f'(\phi(t)) \phi'(t))'dt^2=[f''(\phi(t))(\phi'(t))^2+f'(\phi(t)) \phi''(t)]dt^2=f''(x)dx^2+f'(x)d^2x，$$
　　比一阶微分多了一项，这说明二阶微分已不再具有形式不变性。