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由定义知道,无穷积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛与否,取决于函数$F(u)=\int_a^u f(x)dx$在$u \to +\infty$时是否存在极限。因此可由函数极限的Cauchy准则导出无穷积分收敛的Cauchy准则。
定理1(Cauchy准则) 无穷积分$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛的充要条件是:任给$\epsilon>0$,存在$G \ge a$,只要$u_1$、$u_2>G$,便有
$$|\int_a^{u_2} f(x)dx-\int_a^{u_1} f(x)dx|=|\int_{u_1}^{u_2} f(x)dx|< \epsilon。$$
首先给出无穷积分的绝对收敛判别法。
由于$\int_a^u |f(x)|dx$关于上限$u$是单调递增的,因此$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛的充要条件是$\int_a^{u_2} |f(x)|dx$存在上界。根据这一分析,便立即导出下述比较判别法。
定理2(比较法则) 设定义在$[a,+\infty)$上的两个函数$f$和$g$都在任何有限区间$[a,u]$上可积,且满足
$$|f(x)| \le g(x),x \in [a,+\infty),$$
则当$\int_a^{+\infty} g(x)dx$收敛时$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$必收敛(或者,当$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$发散时,$\int_a^{+\infty} g(x)dx$必发散)。
上述比较法则的极限形式如下:
推论1 若$f$和$g$都在任何$[a,u]$上可积,$g(x)>0$,且$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} \frac{|f(x)|}{g(x)}=c$,则有:
(i)当$0<c<+\infty$时,$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$与$\int_a^{+\infty} g(x)dx$同敛态;
(ii)当$c=0$时,由$\int_a^{+\infty} g(x)dx$收敛可推知$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$也收敛;
(iii)当$c=+\infty$时,由$\int_a^{+\infty} g(x)dx$发散可推知$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$也发散。
当选用$\int_1^{+\infty} \frac{dx}{x^p}$作为比较对象$\int_a^{+\infty} g(x)dx$时,比较判别法及其极限形式成为如下两个推论(称为Cauchy判别法)。
推论2 设$f$定义于$[a,+\infty)(a>0)$,且在任何有限区间$[a,u]$上可积,则有
(i)当$|f(x)| \le \frac{1}{x^p}$,$x \in [a,+\infty)$,且$p>1$时$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛;
(ii)当$|f(x)| \ge \frac{1}{x^p}$,$x \in [a,+\infty)$,且$p \le 1$时$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$发散。
推论3 设$f$定义于$[a,+\infty)$,在任何有限区间$[a,u]$上可积,且
$$\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} x^p|f(x)|=\lambda。$$
则有:
(i)当$p>1$,$0 \le \lambda < +\infty$时,$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$收敛;
(ii)当$p \ge 1$,$0 < \lambda \le +\infty$时,$\int_a^{+\infty} |f(x)|dx$发散。
对于$\int_{-\infty}^b |f(x)|dx$的比较判别亦可类似地进行。
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法。
定理3(Dirichlet判别法) 若$F(u)=\int_a^u f(x)dx$在$[a,+\infty)$上有界,$g(x)$在$[a,+\infty)$上当$x \to +\infty$时单调趋于$0$,则$\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx$收敛。
定理4(Abel判别法) 若$\int_a^{+\infty} f(x)dx$收敛,$g(x)$在$[a,+\infty)$上单调有界,则$\int_a^{+\infty} f(x)g(x)dx$收敛。 |
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