一致收敛函数列的性质

castelu

定理1　设函数列$\left\{f_n \right\}$在$(a,x_0) \cup (x_0,b)$上一致收敛于$f(x)$，且对每个$n$，$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f_n(x)=a_n$，则$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_n$和$\lim\limits_{x \rightarrow x_0}f(x)$均存在且相等。

　　这个定理指出，在一致收敛的条件下，$\left\{f_n(x) \right\}$中两个独立变量$x$与$n$，在分别求极限时其求极限的顺序可以交换，即
$$\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \lim\limits_{x \rightarrow x_0}f_n(x)。$$
　　类似地，若$f_n(x)$在$(a,b)$上一致收敛且$\lim\limits_{x \rightarrow a^+}f_n(x)$存在，可推得$\lim\limits_{x \rightarrow a^+} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \lim\limits_{x \rightarrow a^+}f_n(x)$；若$f_n(x)$在$(a,b)$上一致收敛且$\lim\limits_{x \rightarrow b^-}f_n(x)$存在，可推得$\lim\limits_{x \rightarrow b^-} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \lim\limits_{x \rightarrow b^-}f_n(x)$。

定理2（连续性）　若函数列$\left\{f_n \right\}$在区间$I$上一致收敛，且每一项都连续，则其极限函数$f$在$I$上也连续。

定理3（可积性）　若函数列$\left\{f_n \right\}$在$[a,b]$上一致收敛，且每一项都连续，则
$$\int_a^b \lim\limits_{n \rightarrow \infty} f_n(x)dx=\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \int_a^b f_n(x)dx。$$

定理4（可微性）　设$\left\{f_n \right\}$为定义在$[a,b]$上的函数列，若$x_0 \in [a,b]$为$\left\{f_n \right\}$的收敛点，$\left\{f_n \right\}$的每一项在$[a,b]$上有连续的导数，且$\left\{f_n' \right\}$在$[a,b]$上一致敛，则
$$\frac{d}{dx}{\lim\limits_{n \rightarrow \infty}f_n(x)}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\frac{d}{dx}f_n(x)。$$