幂级数

castelu

　　由幂级数列${a_n(x-x_0)^n}$所产生的函数项级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n+\cdots，$$
　　它称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上说，它也可以看作是多项式函数的延伸。幂级数在理论和实际上都有很多应用，特别在应用它表示函数方面，使我们对它的作用有许多新的认识。
　　下面将着重讨论$x_0=0$，即
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
　　的情形。

定理1（Abel定理）　若幂级数在$x=\overline x \ne 0$收敛，则对满足不等式$|x|<|\overline x|$的任何$x$，幂级数收敛而且绝对收敛；若幂级数在$x=\overline x$时发散，则对满足不等式$|x|>|\overline x|$的任何$x$，幂级数发散。

　　由此定理知道：幂级数的收敛域是以原点为中心的区间。若以$2R$表示区间的长度，则称$R$为幂级数的收敛半径。实际上，它就是使得幂级数收敛的那些收敛点的绝对值的上确界。所以
　　当$R=0$时，幂级数仅在$x=0$处收敛；
　　当$R=+\infty$时，幂级数在$(-\infty,+\infty)$上收敛；
　　当$0<R<+\infty$时，幂级数在$(-R,R)$内收敛；对一切满足不等式$|x|>R$的$x$，幂级数都发散；至于$x=\pm R$，幂级数可能收敛也可能发散。
　　我们称$(-R,R)$为幂级数的收敛区间。

定理2　对于幂级数，若
$$\lim\limits_{n \rightarrow \infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\rho，$$
　　则当
（i）$0<\rho<+\infty$时，幂级数的收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$；
（ii）$\rho=0$时，幂级数的收敛半径$R=+\infty$；
（iii）$\rho=+\infty$时，幂级数的收敛半径$R=0$。

定理3（Cauchy-Hadamard定理）　对于幂级数，设
$$\rho=\overline {\lim\limits_{n \rightarrow \infty}}\sqrt[n]{|a_n|}，$$
则当
（i）$0<\rho<+\infty$时，收敛半径$R=\frac{1}{\rho}$；
（ii）$\rho=0$时，$R=+\infty$；
（iii）$\rho=+\infty$时，$R=0$。
注意：由于上极限总是存在，因而任一幂级数总能由上式得到它的收敛半径。

定理4　若幂级数的收敛半径为$R$（$>0$），则在它的收敛区间$(-R,R)$内任一闭区间$[a,b]$上幂级数都一致收敛。

定理5　若幂级数的收敛半径为$R$（$>0$），且在$x=R$（或$x=-R$）时收敛，则幂级数在$[0,R]$（或$[-R,0]$）上一致收敛。

定理6　（i）幂级数的和函数是$(-R,R)$内的连续函数；（ii）若幂级数在收敛区间的左（右）端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右（左）连续。

定理7　幂级数在收敛区间$(-R,R)$内逐项求导与逐项求积后所得到的幂级数
$$a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots$$
　　与
$$a_0x+\frac{a_1}{2}x^2+\frac{a_2}{3}x^3+\cdots+\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+\cdots$$
　　与幂级数具有相同的收敛区间。

定理8　设幂级数在收敛区间$(-R,R)$上的和函数为$f$，若$x$为$(-R,R)$内任意一点，则
（i）$f$在$x$可导，且
$$f'(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}；$$
（ii）$f$在$0$与$x$这个区间上可积，且
$$\int_0^x f(t)dt=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}。$$

　　定理8指出幂级数在收敛区间内可逐项求导与逐项求积。

推论1　记$f$为幂级数在收敛区间$(-R,R)$内的和函数，则在$(-R,R)$内$f$具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即
$$f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+na_nx^{n-1}+\cdots。$$$$f''(x)=2a_2+3*2a_3x+\cdots+n(n-1)a_nx^{n-2}+\cdots，$$$$\cdots$$$$f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)n(n-1) \cdots 2a_{n+1}x+\cdots，$$$$\cdots$$

推论2　记$f$为幂级数在$x=0$某邻域内的和函数，则幂级数的系数与$f$在$x=0$处的各阶导数有如下关系：
$$a_0=f(0)，a_n=\frac{f^{(0)}(0)}{n!}，(n=1,2,\cdots)。$$

　　这个推论还表明，若幂级数在$(-R,R)$上有和函数$f$，则幂级数由$f$在$x=0$处的各阶导数所惟一确定。

定义　若幂级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
　　与
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots$$
　　在$x=0$的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在这邻域内相等。

定理9　若幂级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
　　与
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots$$
　　在$x=0$的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即
$$a_n=b_n（n=1,2,\cdots）。$$

　　根据这个定理还可推得：若幂级数的和函数为奇（偶）函数，则不出现偶（奇）次幂的项。

定理10　若幂级数
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+\cdots$$
　　与
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty}b_nx^n=b_0+b_1x+b_2x^2+\cdots+b_nx^n+\cdots$$
　　的收敛半径分别为$R_a$和$R_b$，则有
$$\lambda \sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \lambda a_nx^n，|x|<R_a，$$
$$\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n \pm \sum\limits_{n=0}^{\infty} b_nx^n=\sum\limits_{n=0}^{\infty} (a_n \pm b_n)x^n，|x|<R，$$
$$(\sum\limits_{n=0}^{\infty} a_nx^n)(\sum\limits_{n=0}^{\infty} b_nx^n)=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c_nx^n，|x|<R，$$
　　式中$\lambda$为常数，$R=\min\left\{R_a,R_b \right\}$，$c_n=\sum\limits_{k=0}^n a_kb_{n-k}$。