Eular公式

castelu

　　定义复变量$z$的指数函数$e^z$，即
$$e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots。$$
　　定义复变量$z$的正弦函数与余弦函数：
$$\sin z=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots+(-1)^{n-1} \frac{z^{2n-1}}{(2n-1)!}+\cdots，$$
$$\cos z=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots+(-1)^n \frac{z^{2n}}{(2n)!}+\cdots。$$
　　它们的收敛域都是整个复平面。
　　以$iz$代替复变量$z$的指数函数中的$z$，可得
$$e^{iz}=1+iz+\frac{(iz)^2}{2!}+\cdots+\frac{(iz)^n}{n!}+\cdots$$
$$=1+iz-\frac{z^2}{2!}-i \frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+i \frac{z^5}{5!}+\cdots$$
$$=(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots)+i(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}+\cdots)。$$
　　联系复变量$z$的正弦函数与余弦函数，就有
$$e^{iz}=\cos z+i\sin z。$$
　　当$z$为实变量$x$时，则得
$$e^{ix}=\cos x+i\sin x，-\infty<x<+\infty。$$
　　它称为Eular公式。这个公式给出了（实变量）指数函数与三角函数的关系。