Fourier级数

castelu

一、以$2\pi$为周期的函数的Fourier级数

定理1　若在整个数轴上
$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$
　　且等式右边级数一致收敛，则有如下关系式：
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos nxdx，n=0,1,2,\cdots，$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin nxdx，n=1,2,\cdots。$$

　　一般地说，若$f$是以$2\pi$为周期且在$[-\pi,\pi]$上可积的函数，则可按公式计算出$a_n$和$b_n$，它们称为函数$f$（关于三角函数系）的Fourier系数，以$f$的Fourier系数为系数的三角级数称为$f$（关于三角函数系）的Fourier级数，记作
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)。$$
　　这里记号“$\sim$”表示上式右边是左边函数的Fourier级数。由定理1知道：若右边的三角级数在整个数轴上一致收敛于其和函数$f$，则此三角函数就是$f$的Fourier级数，即此时上式中的记号“$\sim$”可换为等号。然而，若从以$2\pi$为周期且在$[-\pi,\pi]$上可积的函数$f$出发，按公式求出其Fourier系数并得到Fourier级数，这时还需讨论此级数是否收敛。如果收敛，是否收敛于$f$本身。

定理2　若以$2\pi$为周期的函数$f$在$[-\pi,\pi]$上按段光滑，则在每一点$x \in [-\pi,\pi]$，$f$的Fourier级数收敛于$f$在点$x$的左、右极限的算术平均值，即
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nx+b_n\sin nx)，$$
　　其中$a_n$，$b_n$为$f$的Fourier系数。

　　我们知道，若$f$的导函数在$[a,b]$上连续，则称$f$在$[a,b]$上光滑。但若定义在$[a,b]$上除了至多有有限个第一类间断点的函数$f$的导函数在$[a,b]$上除了至多有限个点外都存在且连续，在这有限个点上导函数$f'$的左、右极限存在，则称$f$在$[a,b]$上按段光滑。
　　根据上述定义，若函数$f$在$[a,b]$上按段光滑，则有如下重要性质：
1、$f$在$[a,b]$上可积。
2、在$[a,b]$上每一点都存在$f(x \pm 0)$，且有：
$$\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}=\frac{f(x+t)-f(x+0)}{t}=f'(x+0)，$$
$$\lim\limits_{t \rightarrow 0^+}=\frac{f(x-t)-f(x-0)}{-t}=f'(x-0)。$$
3、在补充定义$f'$在$[a,b]$上那些至多有限个不存在点上的值后（仍记为$f'$），$f'$在$[a,b]$上可积。
　　从几何图形上讲，在区间$[a,b]$上按段光滑函数，是由有限个光滑弧段所组成，它至多有有限个第一类间断点与角点。
　　收敛定理指出，$f$的Fourier级数在点$x$处收敛于这一点上$f$的左、右极限的算术平均值$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}$；而当$f$在点$x$连续时，则有$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=f(x)$，即此时$f$的Fourier级数收敛于$f(x)$。于是有如下推论。

推论　若$f$是以$2\pi$为周期的连续函数，且在$[-\pi,\pi]$上按段光滑，则$f$的Fourier级数在$(-\infty,+\infty)$上收敛于$f$。

　　根据收敛定理的假设，$f$是以$2\pi$为周期的函数，所以系数公式中的积分区间$[-\pi,\pi]$可以改为长度为$2\pi$的任何区间，而不影响$a_n$，$b_n$的值：
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_c^{c+2\pi} f(x)\cos nxdx，n=0,1,2,\cdots，$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_c^{c+2\pi} f(x)\sin nxdx，n=1,2,\cdots，$$
　　其中$c$为任何实数。
　　注意：在具体讨论函数的Fourier级数展开式时，常只给出函数$f$在$(-\pi,\pi]$（或$[-\pi,\pi)$）上的解析表达式，但读者应理解为它是定义在整个数轴上以$2\pi$为周期的函数。即在$(-\pi,\pi]$以外的部分按函数在$(-\pi,\pi]$上的对应关系作周期延拓。如$f$为$(-\pi,\pi]$上的解析表达式，那么周期延拓后的函数为
$$\hat f(x)=\left\{ \begin{array}{l} f(x),x \in (-\pi,\pi]\\ f(x-2k\pi),x \in ((2k-1)\pi,(2k+1)\pi]\end{array} \right.，k=\pm 1,\pm 2,\cdots，$$
　　因此我们说函数$f$的Fourier级数就是指函数$\hat f$的Fourier级数。

二、以$2l$为周期的函数的Fourier级数
　　设$f$是以$2l$为周期的函数，通过变量置换
$$\frac{\pi x}{l}=t或x=\frac{l t}{\pi}$$
　　可以把$f$变换成以$2\pi$为周期的$t$的函数$F(t)=f(\frac{l t}{\pi})$。若$f$在$[-l,l]$上可积，则$F$在$[-\pi,\pi]$上也可积，这时函数$F$的Fourier级数展开式是：
$$F(t) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos nt+b_n\sin nt)，$$
　　其中
$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(t)\cos ntdt，n=0,1,2,\cdots，$$
$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} F(t)\sin ntdt，n=1,2,\cdots。$$
　　因为$t=\frac{\pi x}{l}$，所以$F(t)=f(\frac{l t}{\pi})=f(x)$。于是由上两式分别得
$$f(x) \sim \frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})$$
　　与
$$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\cos \frac{n\pi x}{l}dx，n=0,1,2,\cdots，$$
$$b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^l f(x)\sin \frac{n\pi x}{l}dx，n=1,2,\cdots。$$
　　这里$a_n$、$b_n$是以$2l$为周期的函数$f$的Fourier系数，$f(x)$是$f$的Fourier级数。
　　若函数$f$在$[-l,l]$上按段光滑，则同样可由收敛定理知道
$$\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos \frac{n\pi x}{l}+b_n\sin \frac{n\pi x}{l})。$$