高阶偏导数

castelu

　　由于$z=f(x,y)$的偏导函数$f_x(x,y)$，$f_y(x,y)$仍然是自变量$x$与$y$的函数，如果它们关于$x$和$y$的偏导数也存在，则说函数$f$具有二阶偏导数，二元函数的二阶偏导数有如下四种情形：
$$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=f_{xx}(x,y)，$$
$$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=f_{xy}(x,y)，$$
$$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}=f_{yx}(x,y)，$$
$$\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y})=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=f_{yy}(x,y)。$$
　　类似地可定义更高阶的偏导数。

定理　既有关于$x$又有关于$y$的高阶偏导数称为混合偏导数，对于二元函数$z=f(x,y)$，若$f_{xy}(x,y)$和$f_{yx}(x,y)$都在点$(x_0,y_0)$连续，则
$$\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y \partial x}。$$

　　下面讨论复合函数的高阶偏导数。设$z$是通过中间变量$x$，$y$而成为$s$，$t$的函数，即
$$z=f(x,y)，$$
　　其中$x=\phi(s,t)$，$y=\psi(s,t)$。若函数$f$，$\phi$，$\psi$都具有连续的二阶偏导数，则作为复合函数的$z$对$s$，$t$同样存在二阶连续偏导数。