隐函数定理

castelu

定理1（隐函数存在惟一性定理）　若满足下列条件：
（i）函数$F$在以$P_0(x_0,y_0)$为内点的某一区域$D \subset R^2$上连续；
（ii）$F(x_0,y_0)=0$（通常称为初始条件）；
（iii）在$D$内存在连续的偏导数$F_y(x,y)$；
（iv）$F_y(x_0,y_0) \ne 0$，
　　则在点$P_0$的某邻域$U(P_0) \subset D$内，方程$F(x,y)=0$惟一地确定了一个定义在某区间$(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$内的函数（隐函数）$y=f(x)$，使得
1、$f(x_0)=y_0$，$x \in (x_0-\alpha,x_0+\alpha)$时$(x,f(x)) \in U(P_0)$且$F(x,f(x)) \equiv 0$；
2、$f(x)$在$(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$内连续。

注意
1、定理1的条件仅仅是充分的。
2、对于定理1所要证明的结论来说，可以把条件（iii）和（iv）减弱为“$F$在$P_0$的某一邻域内关于$y$严格单调”。现在采用较强的条件（iii）和（iv），只是为了在实际应用中便于检验。
3、如果把定理的条件（iii）、（iv）改为$F_x(x,y)$连续，且$F_x(x_0,y_0) \ne 0$。这时结论是存在惟一的连续函数$x=g(y)$。

定理2（隐函数可微性定理）　设$F(x,y)$满足隐函数存在惟一性定理中的条件（i）－（iv），又设在$D$内还存在连续的偏导数$F_x(x,y)$，则由方程$F(x,y)=0$所确定的隐函数$y=f(x)$在其定义域$(x_0-\alpha,x_0+\alpha)$内有连续导函数，且
$$f'(x)=-\frac{F_x(x,y)}{F_y(x,y)}。$$

定理3　若
（i）函数$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)$在以点$P_0(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0,y^0)$为内点的区域$D \subset R^{n+1}$上连续；
（ii）$F(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0,y^0)=0$；
（iii）偏导数$F_{x_1}$，$F_{x_2}$，$\cdots$，$F_{x_n}$，$F_y$在$D$内存在且连续；
（iv）$F_y(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0,y^0) \ne 0$，
　　则在点$P_0$的某邻域$U(P_0) \subset D$内，方程$F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)=0$惟一地确定了一个定义在$Q_0(x_1^0,x_2^0,\cdots,x_n^0)$的某邻域$U(Q_0) \subset R^n$内的$n$元连续函数（隐函数）$y=f(x_1,\cdot,x_n)$，使得
1、当$(x_1,x_2,\cdot,x_n) \in U(Q_0)$时
$$(x_1,x_2,\cdot,x_n,f(x_1,x_2,\cdot,x_n)) \in U(P_0)，$$
　　且$F(x_1,\cdot,x_n,f(x_1,\cdot,x_n)) \equiv 0$，
$$y^0=f(x_1^0,\cdots,x_n^0)。$$
2、$y=(x_1,\cdot,x_n)$在$U_(Q_0)$内有连续偏导数：$f_{x_1}$，$f_{x_2}$，$\cdots$，$f_{x_n}$，而且
$$f_{x_1}=-\frac{F_{x_1}}{F_y}，f_{x_2}=-\frac{F_{x_2}}{F_y}，\cdots，f_{x_n}=-\frac{F_{x_n}}{F_y}。$$