第二型曲线积分

castelu

定义　设函数$P(x,y)$与$Q(x,y)$定义在平面有向可求长度曲线$L: \widehat {AB}$上。对$L$的任一分割$T$，它把$L$分成$n$个小曲线段
$$\overline {M_{i-1}M_i}（i=1,2,\cdots,n），$$
　　其中$M_0=A$，$M_n=B$。记各小曲线段$\overline {M_{i-1}M_i}$的弧长为$\Delta s_i$，分割$T$的细度$||T||=\max\limits_{1 \le i \le n} \Delta s_i$。又设$T$的分点$M_i$的坐标为$(x_i,y_i)$，并记$\Delta x_i=x_i-x_{i-1}$，$\Delta y_i=y_i-y_{i-1}$（$i=1,2,\cdots,n$）。在每个小曲线段$\overline {M_{i-1}M_i}$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)$，若极限
$$\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n P(\xi_i,\eta_i) \Delta x_i+\lim\limits_{||T|| \rightarrow 0} \sum\limits_{i=1}^n Q(\xi_i,\eta_i) \Delta y_i$$
　　存在且分割$T$与点$(x_i,y_i)$的取法无关，则称此极限为函数$P(x,y)$，$Q(x,y)$沿有向曲线$L$上的第二型曲线积分，记为
$$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy或\int_{AB} P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$

　　上述积分也可写作
$$\int_L P(x,y)dx+\int_L Q(x,y)dy$$
　　或
$$\int_{AB} P(x,y)dx+\int_{AB} Q(x,y)dy$$。
　　为书写简洁起见，上式常简写成
$$\int_L Pdx+Qdy$或$\int_{AB} Pdx+Qdy。$$
　　若$L$为封闭的有向曲线，则记为
$$\oint_L Pdx+Qdy。$$
　　倘若$L$为空间有向可求长度曲线，$P(x,y,z)$，$Q(x,y,z)$，$R(x,y,z)$为定义在$L$上的函数，则可按上述办法类似地定义沿空间有向曲线$L$上的第二型曲线积分，并记为
$$\int_L P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz，$$
　　或简写成
$$\int_L Pdx+Qdy+Rdz。$$
　　第二型曲线积分与曲线$L$的方向有关。对同一曲线，当方向由$A$到$B$改为由$B$到$A$时，每一小曲线段的方向都改变，从而所得的$\Delta x_i$，$\Delta y_i$也随之改变符号，故有
$$\int_{AB} Pdx+Qdy=-\int_{BA} Pdx+Qdy。$$
　　而第一型曲线积分的被积表达式只是函数$f(x,y)$与弧长的乘积，它与曲线$L$的方向无关。这是两种类型曲线积分的一个重要区别。

　　类似于第一型曲线积分，第二型曲线积分也有如下一些主要性质：
1、若$\int_L P_Idx+Q_idy$（$i=1,2,\cdots,k$）存在，则$\int_L (\sum\limits_{i=1}^k c_i P_i)dx+(\sum\limits_{i=1}^k c_i Q_i)dy$也存在，且
$$\int_L (\sum\limits_{i=1}^k c_i P_i)dx+(\sum\limits_{i=1}^k c_i Q_i)dy=\sum\limits_{i=1}^k c_i (\int_L P_Idx+Q_idy)，$$
　　其中$c_i$（$i=1,2,\cdots,k$）为常数。
2、若有向曲线$L$是由有向曲线$L_1$，$L_2$，$\cdots$，$L_k$首尾相接而成，且$\int_{L_i} Pdx+Qdy$（$i=1,2,\cdots,k$）存在，则$\int_L Pdx+Qdy$也存在，且
$$\int_L Pdx+Qdy=\sum\limits_{i=1}^k \int_{L_i} Pdx+Qdy。$$
　　与第一型曲线积分一样，第二型曲线积分也可化为定积分来计算。

　　设平面曲线
$$L:\left\{ \begin{array}{l} x=\phi(t)\\ y=\psi(t) \end{array} \right.t \in [\alpha,\beta]，$$
　　其中$\phi(t)$，$\psi(t)$在$[\alpha,\beta]$上具有一阶连续导函数，且点$A$与$B$的坐标分别为$(\phi(\alpha),\psi(\alpha))$与$(\phi(\beta),\psi(\beta))$。又设$P(x,y)$与$Q(x,y)$为$L$上的连续函数，则沿$L$从$A$到$B$的第二型曲线积分
$$\int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
$$=\int_{\alpha}^{\beta} [P(\phi(t),\psi(t))\phi'(t)+Q(\phi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt。$$
　　对于沿封闭曲线$L$的第二型曲线积分
$$\oint_L Pdx+Qdy。$$
　　的计算，可在$L$上任意选取一点作为起点，沿$L$所指定的方向前进，最后回到这一点。