最大公因式

castelu

　　如果多项式$\phi(x)$既是$f(x)$的因式，又是$g(x)$的因式，那么$\phi(x)$就称为$f(x)$与$g(x)$的一个公因式。在公因式中占有特殊重要地位的是所谓最大公因式。

定义1　设$f(x)$，$g(x)$是$P[x]$中两个多项式。$P[x]$中多项式$d(x)$称为$f(x)$，$g(x)$的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件：
1、$d(x)$是$f(x)$，$g(x)$的公因式；
2、$f(x)$，$g(x)$的公因式全是$d(x)$的因式。

　　例如，对于任意多项式$f(x)$，$f(x)$就是$f(x)$与$0$的一个最大公因式。特别地，根据定义，两个零多项式的最大公因式就是$0$。
　　最大公因式的存在性的证明主要根据带余除法，关于带余除法我们指出以下事实：

引理　如果有等式
$$f(x)=q(x)g(x)+r(x)$$
　　成立，那么$f(x)$，$g(x)$和$g(x)$，$r(x)$有相同的公因式。

定理1　对于$P[x]$中任意两个多项式$f(x)$，$g(x)$，在$P[x]$中存在一个最大公因式$d(x)$，且$d(x)$可以表成$f(x)$，$g(x)$的一个组合，即有$P[x]$中多项式$u(x)$，$v(x)$使
$$d(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)。$$

　　由最大公因式的定义不难看出，如果$d_1(x)$，$d_2(x)$是$f(x)$与$g(x)$的两个最大公因式，那么一定有$d_1(x) \mid d_2(x)$与$d_2(x) \mid d_1(x)$，也就是$d_1(x)=cd_2(x)$，$c \ne 0$。这就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是唯一确定的。我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式。在这个情形，我们约定，用
$$(f(x),g(x))$$
　　来表示首项系数是$1$的那个最大公因式。
　　用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法。

定义2　$P[x]$中两个多项式$f(x)$，$g(x)$称为互素（也称互质）的，如果$(f(x),g(x))=1$。

　　显然，如果两个多项式互素，那么它们除去零次多项式外没有其他的公因式，反之亦然。

定理2　$P[x]$中两个多项式$f(x)$，$g(x)$互素的充分必要条件是有$P[x]$中的多项式$u(x)$，$v(x)$使
$$u(x)f(x)+v(x)g(x)=1。$$

定理3　如果$(f(x),g(x))=1$，且$f(x) \mid g(x)h(x)$，那么
$$f(x) \mid h(x)。$$

推论　如果$f_1(x) \mid g(x)$，$f_2(x) \mid g(x)$，且$(f_1(x),f_2(x))=1$，那么$f_1(x)f_2(x) \mid g(x)$。

　　在上面，最大公因式与互素的概念，都是对两个多项式定义的。事实上，对于任意多个多项式$f_1(x)$，$f_2(x)$，$\cdots$，$f_s(x)$（$s \ge 2$）也同样可以定义最大公因式。$d(x)$称为$f_1(x)$，$f_2(x)$，$\cdots$，$f_s(x)$（$s \ge 2$）的一个最大公因式，如果$d(x)$具有下面的性质：
1、$d(x) \mid f_i(x)$，$i=1,2,\cdots,s$；
2、如果$\phi(x) \mid f_i(x)$，$i=1,2,\cdots,s$，那么$\phi(x) \mid d(x)$。

　　我们仍用符号$(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))$来表示首项系数为$1$的最大公因式。不难证明，$f_1(x)$，$f_2(x)$，$\cdots$，$f_s(x)$的最大公因式存在，而且当$f_1(x)$，$f_2(x)$，$\cdots$，$f_s(x)$全部为零时
$((f_1(x),f_2(x),\cdots,f_{s-1}(x)),f_s(x))$
　　就是
$f_1(x)$，$f_2(x)$，$\cdots$，$f_s(x)$的最大公因式，即
$(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))=((f_1(x),f_2(x),\cdots,f_{s-1}(x)),f_s(x))$。
　　同样，利用以上这个关系可以证明，存在多项式$u_i(x)$，$i=1,2,\cdots,s$，使
$u_1(x)f_1(x)+u_2(x)f_2(x)+\cdots+u_s(x)f_s(x)=(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))$。
　　如果$(f_1(x),f_2(x),\cdots,f_s(x))=1$，那么$f_1(x)$，$f_2(x)$，$\cdots$，$f_s(x)$就称为互素的。同样，有类似于定理2的结论。