有理系数多项式

castelu

　　设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
　　是一有理系数多项式。选取适当的整数$c$乘$f(x)$，总可以使$cf(x)$是一整系数多项式。如果$cf(x)$的各项系数有公因子，就可以提出来，得到
$$cf(x)=dg(x)，$$
　　也就是
$$f(x)=\frac{d}{c}g(x)，$$
　　其中$g(x)$是整系数多项式，且各项系数没有异于$\pm 1$的公因子。
　　如果一个非零的整系数多项式$g(x)=b_nx^n+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots+b_0$的系数$b_n$，$b_{n-1}$，$\cdots$，$b_0$没有异于$\pm 1$的公因子，也就是说，它们是互素的，它就称为一个本原多项式。上面的分析表明，任何一个非零的有理系数多项式$f(x)$都可以表示成一个有理数$r$与一个本原多项式$g(x)$的乘积，即
$$f(x)=rg(x)。$$
　　可以证明，这种表示法除了差一个正负号是唯一的。

定理1（Gauss引理）　两个本原多项式的乘积还是本原多项式。

定理2　如果一非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积。

推论　设$f(x)$，$g(x)$是整系数多项式，且$g(x)$是本原的。如果$f(x)=g(x)h(x)$，其中$h(x)$是有理系数多项式，那么$h(x)$一定是整系数的。

　　这个推论提供了一个求整系数多项式的全部有理根的方法。

定理3　设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
　　是一个整系数多项式，而$\frac{r}{s}$是它的一个有理根，其中$r$，$s$互素，那么必有$s \mid a_n$，$r \mid a_0$。特别地，如果$f(x)$的首项系数$a_n=1$，那么$f(x)$的有理根都是整根，而且是$a_0$的因子。

定理4（Eisenstein判别法）　设
$$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_0$$
　　是一个整系数多项式。如果有一个素数$p$，使得
1、$p \not \mid a_n$；
2、$p \mid a_{n-1},a_{n-2},\cdots,a_0$；
3、$p^2 \not \mid a_0$。
　　那么$f(x)$在有理数域上是不可约的。