n级行列式的性质

castelu

　　行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很麻烦的问题。$n$级行列式一共有$n!$项，计算它就需做$n!(n-1)$个乘法。当$n$较大时，$n!$是一个相当大的数字。直接从定义来计算行列式几乎是不可能的事。因此我们有必要进一步讨论行列式的性质。利用这些性质可以化简行列式的计算。

性质1　行列互换，行列式不变。即

$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{21}&\cdots&a_{n1}\\ a_{12}&a_{22}&\cdots&a_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{1n}&a_{2n}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right|$$

　　性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立。
　　下面我们所谈的行列式的性质大多是对行来说的，对于列也有相同的性质，就不重复了。

性质2
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ ka_{i1}&ka_{i2}&\cdots&ka_{i n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right|= k \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{i n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| $$

　　这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行就相当于用这个数乘此行列式。

性质3
$$ \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_1+c_1&b_2+c_2&\cdots&b_n+c_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right|= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ b_1&b_2&\cdots&b_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| + \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ c_1&c_2&\cdots&c_n\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right| $$

　　这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样。
　　性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形。
　　再根据排列的性质，我们有：

性质4　如果行列式中有两行相同，那么行列式为零。所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等。

　　由这三个性质我们不难推得行列式其他的一些性质。

性质5　如果行列式中两行成比例，那么行列式为零。

性质6　把一行的倍数加到另一行，行列式不变。

　　根据性质6即得

性质7　对换行列式中两行的位置，行列式反号。