矩阵的逆

castelu

　　我们知道，对于任意的$n$级方阵$A$都有
$$AE=EA=A，$$
　　这里$E$是$n$级单位矩阵。因之，从乘法的角度来看，$n$级单位矩阵在$n$级方阵中的地位类似于$1$在复数中的地位。一个复数$a \ne 0$的倒数$a^{-1}$可以用等式
$$aa^{-1}=1$$
　　来刻画，相仿地，我们引入：

定义1　$n$级方阵$A$称为可逆的，如果有$n$级方阵$B$，使得
$$AB=BA=E，$$
　　这里$E$是$n$级单位矩阵。

　　首先我们指出，由于矩阵的乘法规则，只有方阵才能满足等式。其次，对于任意的矩阵$A$，适合等式的矩阵$B$是唯一的（如果有的话）。

定义2　如果矩阵$B$适合$AB=BA=E$，那么$B$就称为$A$的逆矩阵，记为$A^{-1}$。

定义3　设$A_{ij}$是矩阵
$$A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{n n} \end{array}} \right) $$
　　中元素$a_{ij}$的代数余子式，矩阵
$$A^* \left( {\begin{array}{*{20}{c}} A_{11}&A_{21}&\cdots&A_{n1}\\ A_{12}&A_{22}&\cdots&A_{n2}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ A_{1n}&A_{2n}&\cdots&A_{n n} \end{array}} \right) $$
　　称为$A$的伴随矩阵。

　　由行列式按一行（列）展开的公式立即得出：
$$A A^*=A^*A= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d&0&\cdots&0\\ 0&d&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&d \end{array}} \right) =dE，$$
　　其中$d=|A|$。
　　如果$d=|A| \ne 0$，那么由上式得
$$A(\frac{1}{d}A^*)=(\frac{1}{d}A^*)A=E。$$

定理1　矩阵$A$是可逆的充分必要条件是$A$非退化，而
$$A^{-1}=\frac{1}{d}A^*（d=|A| \ne 0）。$$

　　根据定理1容易看出，对于$n$级方阵$A$，$B$，如果
$$AB=E，$$
　　那么$A$，$B$就都是可逆的并且它们互为逆矩阵。
　　定理1不但给出了一矩阵可逆的条件，同时也给出了求逆矩阵的公式$A^{-1}=\frac{1}{d}A^*$（$d=|A| \ne 0$）。按这个公式来求逆矩阵，计算量一般是非常大的。
　　由$|A||A^{-1}|=|E|=1$可以看出，如果$|A|=d \ne 0$，那么
$$|A^{-1}|=d^{-1}。$$

推论　如果矩阵$A$，$B$可逆，那么$A'$与$AB$也可逆，且
$$(A')^{-1}=(A^{-1})'，$$
$$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}。$$

　　联系到可逆矩阵，关于矩阵乘积的秩有：

定理2　$A$是一个$s \times n$矩阵，如果$P$是$s \times s$可逆矩阵，$Q$是$n \times n$可逆矩阵，那么
$$秩(A)=秩(PA)=秩(AQ)。$$