初等矩阵

castelu

定义1　由单位矩阵$E$经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。

　　显然，初等矩阵都是方阵，每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵。互换矩阵$E$的$i$行与$j$行的位置，得
$$P(i,j)= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&&&&&&\\ &\ddots&&&&&&&&&\\ &&1&&&&&&&&\\ &&&0&&\cdots&&1&&&\\ &&&&1&&&&&&\\ &&&\vdots&&\ddots&&\vdots&&&\\ &&&&&&1&&&&\\ &&&1&&\cdots&&0&&&\\ &&&&&&&&1&&\\ &&&&&&&&&\ddots&\\ &&&&&&&&&&1 \end{array}} \right) $$
　　用数域$P$中非零数$c$乘$E$的$i$行，有
$$P(i(c))= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&\\ &\ddots&&&&\\ &&c&&&\\ &&&1&&\\ &&&&\ddots&\\ &&&&&1 \end{array}} \right) $$
把矩阵$E$的$j$行的$k$倍加到$i$行，有
$$P(i,j(k))= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&&&&&&\\ &\ddots&&&&&\\ &&1&\cdots&k&&\\ &&&\ddots&\vdots&&\\ &&&&1&&\\ &&&&&\ddots&\\ &&&&&&1 \end{array}} \right) $$
　　同样可以得到与列变换相应的初等矩阵。应该指出，对单位矩阵作一次初等列变换所得到的矩阵也包括在上面所列举的这三类矩阵之中。譬如说，把$E$的$i$列的$k$倍加到$j$列，我们仍然得到$P(i,j(k))$。因之，这三类矩阵就是全部的初等矩阵。
　　利用矩阵乘法的定义，立即可以得到

引理　对一个$s \times n$矩阵$A$作一初等变换就相当于在$A$的左边乘上相应的$s \times s$初等矩阵；对$A$作一初等列变换就相当于在$A$的右边乘上相应的$n \times n$的初等矩阵。

　　不难看出，初等矩阵都是可逆的，它们的逆矩阵还是初等矩阵。事实上
$$P(i,j)^{-1}=P(i,j)，P(i(c))^{-1}=P(i(c^{-1}))，P(i,j(k))^{-1}=P(i,j(-k))。$$

定义2　矩阵$A$与$B$称为等价的，如果$B$可以由$A$经过一系列初等变换得到。

　　等价是矩阵间的一种关系。不难证明，它具有反身性，对称性与传递性。

定理1　任意一个$s \times n$矩阵$A$都与一形式为
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&\cdots&0&\cdots&0\\ 0&1&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&\cdots&0\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0\\ \vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ 0&0&\cdots&0&\cdots&0 \end{array}} \right) $$
　　的矩阵等价，它称为矩阵$A$的标准形，主对角线上$1$的个数等于$A$的秩（$1$的个数可以是零）。

　　根据引理，对一矩阵作初等变换就相当于用相应的初等矩阵去乘这个矩阵。因之，矩阵$A$，$B$等价的充分必要条件是有初等矩阵$P_1$，$\cdots$，$P_l$，$Q_1$，$\cdots$，$Q_t$使
$$A=P_1P_2 \cdots P_lBQ_1Q_2 \cdots Q_t。$$
　　$n$级可逆矩阵的秩为$n$，所以可逆矩阵的标准形为单位矩阵；反过来显然也是对的。由上式即得

定理2　$n$级矩阵$A$为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积：
$$A=Q_1Q_2 \cdots Q_m。$$

　　由此即得

推论1　两个$s \times n$矩阵$A$，$B$等价的充分必要条件为，存在可逆的$s$级矩阵$P$与可逆的$n$级矩阵$Q$使
$$A=PBQ。$$

推论2　可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。