正定二次型

castelu

定义1　实二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$称为正定的，如果对于任意一组不全为零的实数$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$都有$f(c_1,c_2,\cdots,c_n)>0$。

　　显然，二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$$
　　是正定的，因为只有在$c_1=c_2=\cdots=c_n=0$时，$c_1^2+c_2^2+\cdots+c_n^2$才为零。一般地，不难验证，实二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$$
　　是正定的当且仅当$d_i>0$，$i=1,2,\cdots,n$。
　　设实二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j，a_{ij}=a_{ji}，$$
　　是正定的，经过非退化实线性替换$X=CY$变成二次型
$$g(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n b_{ij}y_iy_j，b_{ij}=b_{ji}。$$
　　我们指出，$y_1$，$y_2$，$\cdots$，$y_n$的二次型$g(y_1,y_2,\cdots,y_n)$也是正定的，或者说，对于任意一组不全为零的实数$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n$都有$g(k_1,k_2,\cdots,k_n)>0$。事实上，令
$$y_1=k_1，y_2=k_2，\cdots，y_n=k_n，$$
　　代入
$$X=CY$$
　　的右端，就得$x_1$，$x_2$，$\cdots$，$x_n$对应的一组值。譬如说，是$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$，就这是说
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{array}} \right) =C \left( {\begin{array}{*{20}{c}} k_1\\ k_2\\ \vdots\\ k_n \end{array}} \right) 。$$
　　因为$C$可逆，就有
$$ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} k_1\\ k_2\\ \vdots\\ k_n \end{array}} \right) =C^{-1} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} c_1\\ c_2\\ \vdots\\ c_n \end{array}} \right) 。$$
　　所以当$k_1$，$k_2$，$\cdots$，$k_n$是一组不全为零的实数时，$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$也是一组不全为零的实数。显然
$$g(k_1,k_2,\cdots,k_n)=f(c_1,c_2,\cdots,c_n)>0。$$
　　因为二次型
$$g(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n b_{ij}y_iy_j，b_{ij}=b_{ji}$$
　　也可以经过非退化的实线性替换$Y=C^{-1}X$变到二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j，a_{ij}=a_{ji}，$$
　　所以按同样理由，当
$$g(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n b_{ij}y_iy_j，b_{ij}=b_{ji}$$
　　正定时
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j，a_{ij}=a_{ji}$$
　　也正定。这就是说，非退化实线性替换保持正定性不变，由此即得：

定理1　$n$元实二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是正定的充分必要条件是它的正惯性指数等于$n$。

　　定理1说明，正定二次型$f(x_1,x_2.\cdots,x_n)$的规范形为
$$y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2。$$

定义2　实对称矩阵$A$称为正定的，如果二次型$X'AX$正定。

　　因为二次型
$$y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$$
　　的矩阵是单位矩阵$E$，所以一个实对称矩阵是正定的当且仅当它与单位矩阵合同，由此得：

推论　正定矩阵的行列式大于零。

　　有时我们需要直接从二次型的矩阵来判别这个二次型是不是正定的，而不希望通过它的规范形。下面就来解决这个问题。为此，引入：

定义2　子式
$$P_i= \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1i}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2i}\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{ii} \end{array}} \right| （i=1,2,\cdots,n）$$
　　称为矩阵$A=(a_{ij})_{nn}$的顺序主子式。

定理2　实二次型
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j=X'AX$$
　　是正定的充分必要条件为矩阵$A$的顺序主子式全大于零。

　　与正定性平行，还有下面的概念。

定义3　设$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数$c_1$，$c_2$，$\cdots$，$c_n$，如果都有$f(c_1,c_2,\cdots,c_n)<0$，那么$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$称为负定的；如果都有$f(c_1,c_2,\cdots,c_n) \ge 0$那么$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$称为半正定的；如果都有$f(c_1,c_2,\cdots,c_n) \le 0$，那么$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$称为半负定的；如果它既不是半正定又不是半负定，那么$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$就称为不定的。

　　由定理2　不难得出负定二次型的判别条件。这是因为当$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$是负定时，$-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$就是正定的。
　　至于半正定性，我们有：

定理3　对于实二次型$f(x_1,\cdots,x_n)=X'AX$，其中$A$是实对称的，下列条件等价：
（1）$f(x_1,\cdots,x_n)$是半正定的，
（2）它的正惯性指数与秩相等，
（3）有可逆实矩阵$C$，使
$$C'AC= \left( {\begin{array}{*{20}{c}} d_1&&&\\ &d_2&&\\ &&\ddots&\\ &&&d_n \end{array}} \right) ，$$
　　其中$d_1 \ge 0$，$i=1,2,\cdots,n$，
（4）有实矩阵$C$使
$$A=C'C，$$
（5）$A$的所有主子式（行指标与列指标相同的子式）皆大于或等于零。