集合·映射

castelu

　　集合是数学中最基本的概念之一。简单地说，所谓集合就是指作为整体看的一堆东西。组成集合的东西称为这个集合的元素。我们用
$$a \in M$$
　　表示$a$是集合$M$的元素，读为：$a$属于$M$。用
$$a \notin M$$
　　表示$a$不是集合$M$的元素，读为：$a$不属于$M$。
　　所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的。因此给出一个集合的方式不外两种，一种是列举出它全部的元素，一种是给出这个集合的元素所具有的特征性质。由无穷多个元素组成的集合是不可能用列举法给出的。
　　关于用性质定义的集合，我们引进一种记法。设$M$是具有某些性质的全部元素所成的集合，就可写成
$$M=\left\{a|a具有的性质 \right\}。$$
　　不包含任何元素的集合称为空集合。把空集合也看作是集合，这一点与通常的习惯不很一致，但是在数学上有好处，同时也不是完全没有道理的，正如我们把$0$也看作是数一样。
　　如果两个集合与$M$与$N$含有完全相同的元素，即$a \in M$当且仅当$a \in N$，那么它们就称为相等，记为
$M=N$。
　　如何集合$M$的元素全是集合$N$的元素，即由$a \in M$可以推出$a \in N$，那么$M$就称为$N$的子集合，记为
$$M \subset N或N \supset M。$$
　　按定义，每个集合都是它自身的子集合。我们规定，空集合是任一集合的子集合。
　　两个集合$M$和$N$如果同时满足$M \subset N和N \subset M$，则$M$和$N$相等。
　　设$M$，$N$是两个集合，既属于$M$又属于$N$的全体元素所成的集合称为$M$与$N$的交，记为
$$M \cap N。$$
　　属于集合$M$或者属于集合$N$的全体元素所成的集合称为$M$与$N$的并，记为
$$M \cup N。$$
　　上面介绍了有关集合的一些概念，下面再来介绍映射的概念。
　　设$M$与$M'$是两个集合，所谓集合$M$到集合$M'$的一个映射就是指一个法则，它使$M$中每一个元素$a$都有$M'$中一个确定的元素$a'$与之对应。如果映射$\sigma$使元素$a' \in M'$与元素$a \in M$对应，那么就记为
$$\sigma(a)=a'，$$
$a'$称为$a$在映射$\sigma$下的像，$a$称为$a'$在映射$\sigma$下的一个原像。
　　$M$到$M$自身的映射，有时也称为$M$到自身的的变换。
　　集合$M$到集合$M'$的两个映射$\sigma$及$\tau$，若对$M$的每个元素$a$都有$\sigma(a)=\tau(a)$则称它们相等，记作$\sigma=\tau$。
　　设$M$是一集合，定义
$$\sigma(a)=a，a \in M。$$
即$\sigma$把每个元素映到它自身，称为集合$M$的恒等映射或单位映射，记为$1_M$。在不致引起混淆时，也可以简单地记为$1$。
　　任意一个定义在全体实数上的函数
$$y=f(x)$$
　　都是实数集合到自身的映射。因此，函数可以认为是映射的一个特殊情形。
　　对于映射我们可以定义乘法。设$\sigma$，$\tau$分别是集合$M$到$M'$，$M'$到$M''$的映射，乘积$\tau\sigma$定义为
$$(\tau\sigma)(a)=\tau(\sigma(a))，a \in M，$$
　　即相继施行$\sigma$和$\tau$的结果，$\tau\sigma$是$M$到$M''$的一个映射。对于集合$M$到$M'$的任意一个映射$\sigma$显然都有
$$1_{M'}\sigma=\sigma1_M=\sigma。$$
　　映射的乘法适合结合律。设$\sigma$，$\tau$，$\psi$分别是集合$M$到$M'$，$M'$到$M''$，$M''$到$M'''$的映射，映射乘法的结合律就是
$$(\psi\tau)\sigma=\psi(\tau\sigma)。$$
　　设$\sigma$是集合$M$到$M'$的一个映射，我们用
$$\sigma(M)$$
　　代表$M$在映射$\sigma$下像的全体，称为$M$在映射$\sigma$下的像集合。显然
$$\sigma(M) \subset M'。$$
　　如果$\sigma(M)=M'$，映射$\sigma$就称为映上的或满射。
　　如果在映射$\sigma$下，$M$中不同元素的像也一定不同，即由$a_1 \ne a_2$一定有$\sigma(a_1) \ne \sigma(a_2)$，那么映射$\sigma$就称为$1$-$1$的或单射。
　　一个映射如果既是单射又是满射就称为$1$-$1$对应或双射。显然，对于由有限多个元素组成的集合，即所谓有限集合来说，两个集合之间存在双射的充分必要条件是它们所含元素的个数相同。于是对有限集合$M$及其子集$M' \ne M$，$M$与$M'$就不能建立双射。对无限集合就不一定如此。
　　对于$M$到$M'$的双射$\sigma$我们可以自然地定义它的逆映射，记为$a^{-1}$。因为$\sigma$是满射，所以$M'$中每个元素都有原像，又因为$\sigma$是单射，所以每个元素只有一个原像，我们定
$$\sigma^{-1}(a')=a，当\sigma(a)=a'。$$
显然，$\sigma^{-1}$是$M'$到$M$的一个双射，并且
$$\sigma^{-1}\sigma=1_M，\sigma\sigma^{-1}=1_{M'}。$$
　　不难证明，如果$\sigma$，$\tau$分别是$M$到$M'$，$M'$到$M''$的双射，那么乘积$\tau\sigma$就是$M$到$M''$的一个双射。