线性子空间

castelu

　　在通常的三维几何空间中，考虑一个通过原点的平面。不难看出，这个平面上的所有向量对于加法和数量乘法组成一个二维的线性空间。这就是说，它一方面是三维几何空间的一个部分，同时它对于原来的运算也构成一个线性空间。

定义　数域$P$上线性空间$V$的一个非空子集合$W$称为$V$的一个线性子空间（或简称子空间），如果$W$对于$V$的两种运算也构成数域$P$上的线性空间。

定理1　如果线性空间$V$的非空子集合$W$对于$V$的加法和数量乘法两种运算是封闭的，那么$W$就是一个子空间。

　　在线性空间中，由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间，它叫做零子空间。
　　线性空间$V$本身也是$V$的一个子空间。
　　在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两个子空间有时候叫做平凡子空间，而其他的线性子空间叫做非平凡子空间。
　　在全体实函数组成的空间中，所有的实系数多项式组成一个子空间。
　　$P[x]_n$是线性空间$P[x]$的子空间。
　　在线性空间$P^n$中，齐次线性方程组
$$ \left\{ \begin{array}{l} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{n n}x_n=0 \end{array} \right. $$
　　的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间。不难看出，解空间的基就是方程组的基础解系，它的维数等于$n-r$，其中$r$为系数矩阵的秩。
　　设$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$是线性空间$V$中一组向量，不难看出，这组向量所有可能的线性组合
$$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_r\alpha_r$$
　　所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因而是$V$的一个子空间，这个子空间叫做由$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$生成的子空间，记为
$$L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)。$$
　　由子空间的定义可知，如果$V$的一个子空间包含向量$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$，那么就一定包含它们所有的线性组合，也就是说，一定包含$L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)$作为子空间。
　　在有限维线性空间中，任何一个子空间都可以这样得到。事实上，设$W$是$V$的一个子空间，$W$当然也是有限维的。设$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$是$W$的一组基，就有
$$W=L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)。$$
　　关于子空间我们有以下常用的结果。

定理2　1）两个向量组生成相同子空间的充分必要条件是这两个向量组等价。2）$L(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r)$的维数等于向量组$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_r$的秩。

定理3　设$W$是数域$P$上$n$维线性空间$V$的一个$m$维子空间，$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_m$是$W$的一组基，那么这组向量必定可扩充为整个空间的基。也就是说，在$V$中必定可以找到$n-m$个向量$\alpha_{m+1}$，$\alpha_{m+2}$，$\cdots$，$\alpha_n$，使得$\alpha_1$，$\alpha_2$，$\cdots$，$\alpha_n$是$V$的一组基。