Euclid空间的同构

castelu

　　我们来建立欧氏空间同构的概念。

定义　实数域$R$上欧氏空间$V$与$V'$称为同构的，如果由$V$到$V'$有一个双射$\sigma$，满足
1）$\sigma(\alpha+\beta)=\sigma(\alpha)+\sigma(\beta)$，
2）$\sigma(k\alpha)=k\sigma(\alpha)$，
3）$(\sigma(\alpha),\sigma(\beta))=(\alpha,\beta)$，
　　这里$\alpha$，$\beta \in V$，$k \in R$，这样的映射$\sigma$称为$V$到$V'$的同构映射。

　　由定义立即看出，如果$\sigma$是欧氏空间$V$到$V'$的一个同构映射，那么$\sigma$也是$V$到$V'$作为线性空间的同构映射。因此，同构的欧氏空间必有相同的维数。
　　设$V$是一个$n$维欧氏空间，在$V$中取一组标准正交基$\epsilon_1$，$\epsilon_2$，$\cdots$，$\epsilon_n$。在这组基下，$V$的每个向量$\alpha$都可表成
$$\alpha=x_1\epsilon_1+x_2\epsilon_2+\cdots+x_n\epsilon_n。$$
　　令
$$\sigma(\alpha)=(x_1,x_2,\cdots,x_n) \in R^n。$$
　　我们知道，这是$V$到$R^n$的一个双射，并且适合定义中条件1），2）。几何中向量的内积在直角坐标系中坐标表达式的推广说明，$\sigma$也适合定义中条件3），因而$\sigma$是$V$到$R^n$的一个同构映射，由此可知，每个$n$维的欧氏空间都与$R^n$同构。
　　同构作为欧氏空间之间的关系具有反身性、对称性与传递性。
　　既然每个$n$维欧氏空间都与$R^n$同构，按对称性与传递性即得，任意两个$n$维欧氏空间都同构。综上所述，就有

定理　两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。

　　这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它的维数决定。