酉空间

castelu

　　欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的。酉空间实际就是复数域上的欧氏空间。

定义　设$V$是复数域上的线性空间，在$V$上定义了一个二元复函数，称为内积，记作$(\alpha,\beta)$，它具有以下性质：
1）$(\alpha,\beta)=\overline {(\beta,\alpha)}$，这里$\overline {(\beta,\alpha)}$是$(\beta,\alpha)$的共轭复数；
2）$(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)$；
3）$(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$；
4）$(\alpha,\alpha)$是非负实数，且$(\alpha,\alpha)=0$当且仅当$\alpha=0$。
　　这里$\alpha$，$\beta$，$\gamma$是$V$中任意的向量，$k$为任意复数，这样的线性空间称为酉空间。

　　在线性空间$C^n$中，对向量
$$\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)，\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$$
　　定义内积为
$$(\alpha,\beta)=a_1\overline b_1+a_2\overline b_2+\cdots+a_n\overline b_n。$$
　　显然，内积满足定义中的条件。这样，$C^n$就成为一个酉空间。

　　由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似，有一套平行的理论。
　　首先由内积的定义可得到
1）$(\alpha,k\beta)=\overline k(\alpha,\beta)$。
2）$(\alpha,\beta+\gamma)=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$。
　　和在欧氏空间中一样，因为$(\alpha,\alpha) \ge 0$，故可定义向量的长度。
3）$\sqrt{(\alpha,\alpha)}$叫做向量$\alpha$的长度，记为$|\alpha|$。
4）柯西-布涅柯夫斯基不等式仍然成立，即对任意的向量$\alpha$，$\beta$有
$$|(\alpha,\beta)| \le |\alpha||\beta|，$$
　　当且仅当$\alpha$，$\beta$线性相关时，等号成立。
　　注意：酉空间中的内积$(\alpha,\beta)$一般是复数，故向量之间不易定义夹角但我们仍引入
5）向量$\alpha$，$\beta$，当$(\alpha,\beta)=0$时称为正交或相互垂直。
　　在$n$维酉空间中，同样可以定义正交基和标准正交基，并且关于标准正交基也有下述一些重要性质；
6）任意一组线性无关的向量可以用施密特过程正交化，并扩充成为一组标准正交基。
7）对$n$维复矩阵$A$，用$\overline A$表示以$A$的元素的共轭复数作元素的矩阵。如$A$满足$\overline A'A=A\overline A'=E$，就叫做酉矩阵。它的行列式的绝对值等于$1$。
　　两组标准正交基的过渡矩阵是酉矩阵。
　　类似于欧氏空间的正交变换和对称矩阵，可以引进酉空间的酉变换和埃尔米特矩阵。它们也分别具有正交变换和对称矩阵的一些重要性质，我们把它列举在下面；
8）酉空间$V$的线性变换$\mathcal A$，如果满足
$$(\mathcal A\alpha,\mathcal A\beta)=(\alpha,\beta)，$$
　　就称为$V$的一个酉变换。酉变换在标准正交基下的矩阵是酉矩阵。
9）如矩阵$A$满足
$$\overline A'=A，$$
　　则叫埃尔米特（Hermite）矩阵。在酉空间$C^n$中令
$$\mathcal A \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right) =A \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{array}} \right)，$$
　　则
$$(\mathcal A\alpha,\beta)=(\alpha,\mathcal A\beta)。$$
$\mathcal A$也是对称变换。
10）$V$是酉空间，$V_1$是子空间，$V_1^{\bot}$是$V_1$的正交补，则$V=V_1 \oplus V_1^{\bot}$。
　　又设$V_1$是对称变换的不变子空间，则$V_1^{\bot}$也是不变子空间。
11）埃尔米特矩阵的特征值为实数。它的属于不同特征值的特征向量必正交。
12）若$A$是埃尔米特矩阵，则有酉矩阵$C$，使
$$C^{-1}AC=\overline C'AC$$
　　是对角形矩阵。
13）设$A$为埃尔米特矩阵，二次齐次函数
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^n a_{ij}x_i\overline x_j=X'A\overline X$$
　　叫做埃尔米特二次型。必有酉矩阵$C$，当$X=CY$时
$$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1y_1\overline y_1+d_2y_2\overline y_2+\cdots+d_ny_n\overline y_n。$$