旋转面

castelu

定义　一条曲线$C$绕一条直线$l$旋转所产生的曲面称为旋转面，曲线$C$称为母线，$l$称为轴。母线上的点旋转所得的圆称为纬圆，过$l$的半平面与旋转面的交线称为经线。

　　设轴$l$过点$M_1(x_1,y_1,z_1)$，方向向量$v=(l,m,n)$，母线$C$的方程为
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x,y,z)=0,\\
F_2(x,y,z)=0.
\end{array} \right.$$
我们来求以$l$为轴，$C$为母线的旋转面$S$的方程。
　　点$M(x,y,z)$在$S$上当且仅当$M$在过母线$C$上某一点$M_0(x_0,y_0,z_0)$的纬圆上。因而$M_0$与$M$到轴$l$的距离相等（或到轴上一点$M_1$的距离相等），且$\vec {M_0M}$与$l$垂直。于是
$$\left\{ \begin{array}{l}
F_1(x_0,y_0,z_0)=0,\\
F_2(x_0,y_0,z_0)=0,\\
|\vec {MM_1} \times v|=|\vec {M_0M_1} \times v|,\\
l(x-x_0)+m(y-y_0)+n(z-z_0)=0.
\end{array} \right.$$
　　由以上方程组中消去$x_0$，$y_0$，$z_0$，就得到$x$，$y$，$z$的方程，它就是$S$的方程。
　　母线$C$：
$$\left\{ \begin{array}{l}
y^2=2pz,\\
x=0
\end{array} \right.$$
　　绕$z$轴旋转所得旋转面的方程为
$$x^2+y^2=2pz，$$
　　此曲面称为旋转抛物面。
　　母线$C$：
$$\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,\\
z=0
\end{array} \right.$$
　　绕$x$轴旋转所得曲面的方程为
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2+z^2}{b^2}=1，$$
　　此曲面称为旋转双叶双曲面。
　　$C$绕$y$轴旋转的方程
$$\frac{x^2+z^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，$$
　　此曲面称为旋转单叶双曲面。
　　圆
$$\left\{ \begin{array}{l}
(x-a)^2+z^2=r^2,\\
y=0,
\end{array} \right.$$
　　其中，$0<r<a$，绕$z$轴旋转得方程
$$(x^2+y^2+z^2+a^2-r^2)^2=4a^2(x^2+y^2)，$$
　　此曲面称为环面。