直纹面

castelu

　　柱面、锥面和旋转单叶双曲面有一个共同的特点，它们都是由直线构成的，或者说是一条直线沿一条曲线按一定的方式运动所产生的。这一类由直线运动所生成的曲面称为直纹面，直纹面上的直线叫直母线，那条曲线叫准线。在二次曲面中，二次柱面、二次锥面都是直纹面。因为椭球面是有界的，所以椭球面不是直纹面。而双叶双曲面要求$|z| \ge c$，所以如果直线在此曲面上，则直线必然与$xOy$面平行，然而这种直线要么相交于曲面两点；那么与曲面不相交，因而双叶双曲面不可能是直纹面。我们将看到单叶双曲面和双曲抛物面都是直纹面。
　　直纹面的动直线的集合称为单参数直线族。设直纹面的准线用向量表示为$a(u)$，$u \in I$，$I$为一区间，动直线在时刻$u$的方向向量为$b(u)$，则直纹面的参数方程为
$$r(u,v)=a(u)+vb(u)，u \in I，v \in (-\infty,+\infty)。$$

定理　单叶双曲面和双曲抛物面是直纹面。

　　如果曲面的方程是二次的，而且方程可进行因式分解，那么就能得出该曲面是直纹面的论断，并且从因式分解中直接写出直母线族的方程。