平面的正交变换

castelu

　　我们介绍了平面上的三种点变换：平移、旋转和反射。它们有一个共同的特点：保持点之间的距离不变。

定义　平面上的一个点变换，如果保持点之间的距离不变，则称它是正交（点）变换（或等距变换）。

　　平面上的运动与反射都是正交变换。
　　从定义立即可到性质1和性质2。

性质1　恒等变换是正交变换。

性质2　正交变换的乘积是正交变换。

性质3　正交变换是双射。

　　由性质3知道，正交变换的逆变换存在，且逆变换也是正交变换。因此，由以上三个性质知道平面上全体正交点变换构成平面上的一个变换群，称为正交变换群。

性质4　正交变换把直线变到直线，并保持共线三点$P$，$Q$，$R$的简单比
$$(P,Q,R)=\frac{PR}{RQ}$$
　　不变。其中$PR$，$RQ$表示有向线段$\vec {PR}$，$\vec {RQ}$的有向长度（或代数长），即若在直线$PQ$上取一单位向量$e$，则$\vec {PR}=(PR)e$，$\vec {RQ}=(RQ)e$。

性质5　正交变换将平行直线变为平行直线，并保持相交直线的夹角不变。

　　在平面上，对任一向量$a$，以点$O$为始点，作$\vec {OA}=a$。设正交变换$\sigma$把$O$，$A$分别变到$O'$，$A'$，令$a'=\vec {O'A'}$，则向量$a'$只依赖于$a$而与$O$点的选取无关，原因是$\sigma$保持平行性和保持距离不变。这一事实说明，$\sigma$诱导出平面上向量的一个变换，使$a$变到$a'$，这个变换仍记为$\sigma$，称为正交向量变换。
　　设$a$与$b$是任意两个向量，$\sigma (a)=a'$，$\sigma (b)=b'$。显然
$$a \cdot b=a' \cdot b'，$$
　　即$\sigma$保持向量的内积不变。
　　根据$\sigma$保持共线三点的简单比不变这一特征，我们可从$a=\lambda b$推出$a'=\lambda b'$。又若$\sigma (c)=c'$，并且$c=a+b$，由于$\sigma$把一个三角形变成一个与之全等的三角形，又可得到$c'=a'+b'$。简短地说，正交变换保持向量的线性关系
$$c=\lambda a+\mu b$$
　　不变。

性质6　正交变换保持向量的内积不变，保持向量的线性关系不变。

　　取平面直角坐标系$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$，设正交变换$\sigma$将点$P(x,y)$变换到$P'(x',y')$，则
$$\vec {OP}=xe_1+ye_2，\vec {OP'}=x'e_1+y'e_2，$$
　　下面来求$x'$，$y'$与$x$，$y$之间的关系。
　　根据性质6可知$\sigma$把直角坐标系$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$变到直角坐标系$\left\{O';e'_1,e'_2 \right\}$，并且$\vec {O'P'}=xe'_1+ye'_2$，即$P'$在直角坐标系$\left\{O';e'_1,e'_2 \right\}$下的坐标与$P$在直角坐标系$\left\{O;e_1,e_2 \right\}$下的坐标一致。
　　设$\vec {OO'}=ae_1+be_2$，$e'_1=a_{11}e_1+a_{21}e_2$，$e'_2=a_{12}e_1+a_{22}e_2$。因为$\left\{O';e'_1,e'_2 \right\}$是直角坐标系，所以过渡矩阵$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)$是正交矩阵。
$$\vec {OP'}=\vec {OO'}+\vec {O'P'}$$
$$=(ae_1+be_2)+xe'_1+ye'_2$$
$$=ae_1+be_2+x(a_{11}e_1+a_{21}e_2)+y(a_{12}e_1+a_{22}e_2)$$
$$=(a_{11}x+a_{12}y+a)e_1+(a_{21}x+a_{22}y+b)e_2$$
$$=x'e_1+y'e_2，$$
　　于是得出正交变换的坐标表示
$$\left\{ \begin{array}{l}
x'=a_{11}x+a_{12}y+a,\\
y'=a_{21}x+a_{22}y+b,
\end{array} \right.$$
　　其中，$A=(a_{ij})$是正交矩阵。
　　用矩阵形式表示，则上式可写成
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)。$$
　　设$\sigma (a)=a'$，$a=ue_1+ve_2$，$a'=u'e_1+v'e_2$，由性质6得
$$a'=ue'_1+ve'_2。$$
　　我们容易得到$u'$，$v'$与$u$，$v$之间的关系
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u'\\
v'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
u\\
v
\end{array}} \right)。$$
　　考虑正交矩阵$A$的条件
$$a_{11}^2+a_{21}^2=1，$$
$$a_{12}^2+a_{22}^2=1，$$
$$a_{11}a_{12}+a_{21}a_{22}=0。$$
　　我们可设
$$a_{11}=\cos \theta，a_{21}=\sin \theta，$$
$$a_{12}=\sin \phi，a_{22}=\cos \phi，$$
　　将它们代入条件中的第三式得
$$0=\cos \theta \sin \phi+\sin \theta \cos \phi=\sin(\phi+\theta)，$$
　　因此
$$\phi=k\pi-\theta，a_{12}=\pm \sin \theta，a_{22}=\mp \cos \theta，$$
　　即
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)$$
　　或
$$A=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&\sin \theta\\
\sin \theta&-\cos \theta
\end{array}} \right)$$
　　则
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)$$
　　可写为
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)，$$
　　或
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&\sin \theta\\
\sin \theta&-\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)。$$
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)$$
　　表示平面上的运动，
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&\sin \theta\\
\sin \theta&-\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)$$
　　表示平面上的反射
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0\\
0&-1
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y
\end{array}} \right)$$
　　与运动
$$\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x''\\
y''
\end{array}} \right)=\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
\cos \theta&-\sin \theta\\
\sin \theta&\cos \theta
\end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
x'\\
y'
\end{array}} \right)+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
a\\
b
\end{array}} \right)$$
　　的乘积。由此得到以下定理。

定理1（正交变换第一基本定理）　正交变换或者是运动，或者是一个反射与一运动的乘积。有时前者称为第一类正交变换，后者称为第二类正交变换。

定理2（正交变换第二基本定理）　正交变换把直角坐标系变到新的直角坐标系，并使每一点$P$在原系下的坐标与它的像$P'$关于新系下的坐标相同。反之，具有这种性质的变换是正交变换。