二次曲线的度量分类与仿射分类

castelu

　　在1872年，德国数学家F.Klein提出了按变换群给各种几何学科进行分类的思想，对几何学的研究有很大的影响。对这一思想，我们将作一简单的介绍。以平面上二次曲线为研究对象，说明它在度量几何学（欧几里得几何学）与仿射几何学中各是怎样分类的。
　　由平面的正交变换和平面的仿射变换我们知道，平面上所有正交变换的集合构成平面上的一个变换群，称之为平面上的正交群；平面上所有仿射变换的集合也构成平面上的一个变换群，称之为仿射群。
　　如果变换群$G$中的一个子集$H$也构成一个变换群，则称$H$为$G$的子变换群。
　　由于正交变换也是仿射变换，所以正交群是仿射群的子变换群。
　　另外，平面上绕原点的旋转变换的全体也构成群，称为平面上的旋转群，平面上的刚体运动的全体也构成群，称为平面上的运动群。以上变换群的关系为
$$旋转群\subset运动群\subset正交群\subset仿射群。$$

定义1　几何图形在正交变换下的不变性质（或几何量）称为图形的度量性质（或正交不变量），研究这些性质的几何学称为度量几何学（即欧几里得几何学），几何图形在仿射变换下的不变性质（或几何量）称为图形的仿射性质（或仿射不变量），研究仿射性质的几何学称为仿射几何学。

　　由于正交群是仿射群的子变换群，所以仿射性质（仿射不变量）也是度量性质（正交不变量）。但是反之，度量性质不一定是仿射性质。
　　仿射性质有共线、平行、相交、中心对称、二次曲线的直径的共轭性等。度量性质有垂直、轴对称等。
　　仿射不变量有共线三点的简单比，代数曲线的次数等。正交不变量有两点间的距离、两向量的夹角、图形的面积以及二次曲线的$I_1$，$I_2$，$I_3$等。
　　一般而言，仿射变换可以改变两点之间的距离、两直线间的夹角，因此，关于距离、角度等的性质和不变量就不是仿射性质和仿射不变量。
　　经过平面上的一个正交变换或仿射变换，平面上的一个图形变成另一个图形。

定义2　如果有一个平面的正交变换把$C_1$变到$C_2$，那么平面上的图形$C_1$和$C_2$称为正交等价的（或度量等价的），记为$C_1 \sim C_2$。

　　如果有一个平面的仿射变换把$C_1$变到$C_2$，那么平面上的图形$C_1$和$C_2$称为仿射等价的，也记为$C_1 \sim C_2$。
　　在此，图形看作由点组成的集合，所谓一变换把图形$C_1$变到$C_2$，就是指这个变换引起集合$C_1$到$C_2$的一个双射。
　　由于正交变换包含了刚体运动和反射，因此所谓两个图形是正交等价的就是两个图形可以重合的意思。

　　不论是正交等价还是仿射等价都是图形间的一种“关系”。由于正交变换的全体构成一个变换群，所以作为一个“关系”来讲具有如下三个性质：
（i）反身性，即$C_1 \sim C_2$；
（ii）对称性，若$C_1 \sim C_2$，则$C_2 \sim C_1$；
（iii）传递性，若$C_1 \sim C_2$，$C_2 \sim C_3$，则$C_1 \sim C_3$。

　　仿射等价这种“关系”也具有以上三个性质。具有以上三个性质的“关系”称为等价关系。于是正交等价和仿射等价的关系都是等价关系。
　　从每一图形$C$出发，考虑所有与$C$正交等价的图形，就得到图形的一个集合，称为$C$的正交等价类，记为$[C]$。由于$[C]$中任意两个图形都与$C$正交等价，根据对称性和传递性，所以它们也正交等价。这样，由正交等价的关系我们就把平面上的图形分成了一些正交等价类，每一类中任意两个图形都正交等价，而不同类中的图形都不正交等价。同样，根据仿射等价的关系，把平面上的图形分成一些仿射等价类。由正交群$\subset$仿射群，从而每个正交等价类都包含在某一个仿射等价类中作为它的一部分。
　　我们用直角坐标变换，将二次曲线的方程化简为九类。由于直角坐标变换和正交点变换的公式在形式上是一致的，所以可以把直角坐标变换理解为正交变换，在一个正交等价类中找出方程最简单的曲线作为此正交等价类的代表。因此，可以将关于二次曲线分类定理改述为关于二次曲线度量分类的定理。

定理1　在直角坐标系中任意二次曲线度量（正交）等价于下列曲线之一：
$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1，\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0，$$
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0，x^2=2py，$$
$$x^2-a^2=0，x^2+a^2=0，x^2=0，$$
其中，$a$，$b$，$p$均为正数。
　　这九种曲线彼此不度量等价，且同一种方程表示的曲线当系数不同时，它们也彼此不度量等价。因此，二次曲线共有无穷多个度量等价类。

定理2　在仿射坐标系中，任意二次曲线仿射等价于下列曲线之一：
$$x^2+y^2=1，x^2+y^2=-1，x^2+y^2=0，$$
$$x^2-y^2=1，x^2-y^2=0，x^2=y，$$
$$x^2-1=0，x^2+1=0，x^2=0。$$
　　这九种曲线彼此不仿射等价，但任一条二次曲线可以仿射等价于其中之一。因此，二次曲线的仿射等价类共有九个。