《Linear Algebra》第一版【R20230223】

castelu

《Linear Algebra》

一、书籍简介
　　《Linear Algebra》是站长独立编写出版的数学专业教材系列丛书之一。

二、封装设计

三、目录
　　引言
　　1 绪论
　　　　1.1 集合与映射
　　　　1.2 关系与分类
　　　　1.3 数学归纳法
　　　　1.4 数系发展与代数系统
　　　　1.5 整数理论
　　　　1.6 复数的基本知识
　　2 多项式
　　　　2.1 一元多项式环
　　　　2.2 整除性与最大公因式
　　　　2.3 因式分解定理
　　　　2.4 多项式函数
　　　　2.5 $\mathbb{C},\mathbb{R},\mathbb{Q},\mathbb{Z}$上的多项式
　　　　2.6 多元多项式环
　　3 行列式
　　　　3.1 排列
　　　　3.2 行列式的定义
　　　　3.3 行列式的性质
　　　　3.4 Laplace展开与Binet-Cauchy公式
　　　　3.5 行列式的计算
　　　　3.6 Cramer法则
　　4 线性方程组
　　　　4.1 Gauss消元法
　　　　4.2 $n$数组向量空间
　　　　4.3 矩阵的秩
　　　　4.4 线性方程组有解判别定理
　　　　4.5 线性方程组解的结构
　　　　4.6 二元高次方程组*
　　5 矩阵
　　　　5.1 矩阵的基本概念
　　　　5.2 相抵标准型
　　　　5.3 矩阵的分块运算
　　　　5.4 秩不等式
　　　　5.5 矩阵与线性映射
　　　　5.6 矩阵的广义逆*
　　6 线性空间
　　　　6.1 线性空间的基本概念
　　　　6.2 基变换与坐标变换
　　　　6.3 子空间
　　　　6.4 直和
　　　　6.5 线性映射与同构
　　　　6.6 商空间*
　　7 线性变换
　　　　7.1 线性映射的运算
　　　　7.2 线性映射的矩阵表示
　　　　7.3 线性变换
　　　　7.4 特征值与特征向量
　　　　7.5 不变子空间
　　　　7.6 商空间中的诱导变换*
　　8 相似标准型
　　　　8.1 零化多项式与最小多项式
　　　　8.2 根子空间与准素分解
　　　　8.3 循环子空间与循环分解
　　　　8.4 Jordan标准型
　　　　8.5 广义Jordan标准型*
　　　　8.6 主理想整环上的有限生成模*
　　9 $\lambda-$矩阵
　　　　9.1 $\lambda-$矩阵的基本概念
　　　　9.2 $\lambda-$矩阵的初等变换
　　　　9.3 行列式因子、不变因子与初等因子
　　　　9.4 矩阵相似的条件
　　　　9.5 相似标准型
　　　　9.6 矩阵函数*
　　10 双线性函数与二次型
　　　　10.1 线性函数与对偶空间
　　　　10.2 双线性函数
　　　　10.3 对称与反对称双线性函数
　　　　10.4 二次型
　　　　10.5 正定二次型
　　　　10.6 双线性型*
　　11 Euclid空间
　　　　11.1 Euclid空间的基本概念
　　　　11.2 标准正交基
　　　　11.3 子空间、正交补空间与同构
　　　　11.4 Euclid空间中的线性变换
　　　　11.5 正交相似标准型
　　　　11.6 最小二乘法*
　　12 酉空间
　　　　12.1 酉空间的基本概念
　　　　12.2 标准正交基
　　　　12.3 子空间、正交补空间与同构
　　　　12.4 酉空间中的线性变换
　　　　12.5 酉相似标准型
　　　　12.6 极分解与奇异值分解*
　　13 四维时空空间与辛空间*
　　　　13.1 四维时空空间
　　　　13.2 辛空间
　　14 张量积与外代数*
　　　　14.1 多重线性映射
　　　　14.2 线性空间的张量积
　　　　14.3 张量代数
　　　　14.4 外代数
　　A ZFC公理系统
　　B 连加号与连乘号
　　习题答案与提示
　　索引

四、第一版前言
　　代数学有悠久的发展历史。代数（Algebra）一词最初来源于公元9世纪阿拉伯数学家Al-Khwarizmi的著作。在这以后的一千多年时间内，代数学始终处于蓬勃发展之中。许多杰出的数学家，例如：Euler、Gauss、Galois等贡献了他们的聪明才智，作出了辉煌灿烂的成果。代数学是用符号代替各种事物并研究其间关系的学问，它是研究各种代数系统的数学分支，这些代数系统是现实世界中无数真实对象的高度抽象概括。
　　线性代数是数学专业的一门基础课，有时也称为高等代数，它是三门主要必修课（分析、几何、代数）之一，在教学计划中属于关键性的课程，编写一本知识体系完善且符合学习习惯的合格线性代数教材，无疑是一项重要的工作。
　　代数学抽象的特性使很多初学者感到不适应，人类的认识总要经过从具体到抽象，从抽象再到具体的过程。我们把多项式、$n$数组向量空间、矩阵等具体表达形式抛弃，把最根本的运算法则保留下来，就得到了抽象的线性空间和线性映射。当我们需要具体计算时，研究了线性映射的矩阵表示，又把抽象的线性映射转化为具体的矩阵。普适的代价是抽象，只有不断努力，掌握了代数学的抽象本质，才能在具体问题中游刃有余。
　　本书由Castelu主编，作者是浙江大学数学科学学院基础数学专业博士，高等院校数学系讲师，研究方向：Hopf代数。官方网站：www.2math.cn。因为数学，我们走到了一起；诚邀广大数学爱好者加盟；数有几何，学无极限。
　　本书编写过程中参阅了许多国内外文献，采用了ElegantBook优美的$\LaTeX$书籍模板，在此表示衷心的感谢。由于作者水平有限，加之编写仓促，恳切希望读者对本书的缺点错误给予批评指正。本书第二版将会根据读者的意见和建议进行修改。

五、郑重声明
　　数学之家依法对本书享有专有出版权。未经许可，不得以任何方式复制或抄袭本书之部分或全部内容。社会各界人士如发现上述侵权行为，希望及时举报，作者将奖励举报有功人员。
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六、购买方式
　　本书出版中，敬请期待。

2023.2.23