2000年全国高中数学联赛试题 第一试(局部)

天马行空

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．设全集是实数，若A={x|√(x-2)≤0}，B={x|10x2 - 2 = 10x},则A∩B是(　　 )

(A){2}　　　(B){-1}　　　(C){x|x≤2}　　　(D)空集　　　[注：√表示根号]

2．设sina＞0,cosa＜0,且sin(a/3)＞cos(a/3),则a/3的取值范围是(　　 )

(A)(2kπ+π/6,2kπ+π/3),k∈Z　　　(B)(2kπ+π/6,2kπ－π/3),k∈Z　

(C)(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z　　　(D)(2kπ+π/4,2kπ+π/3)∪(2kπ+5π/6,2kπ+π),k∈Z

3．已知点A为双曲线x2-y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是(　　 )

(A)√3/3　 　　(B)3√3/2　　　　　(C)3√3　 　　　(D)6√3

4．给定正数p,q,a,b,c，其中p≠q，若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，则一元二次方程bx2-2ax+c=0(　　

)

(A)无实根　 (B)有两个相等实根　 (C)有两个同号相异实根　 (D)有两个异号实根


5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=(5/3)x+4/5的距离中的最小值是(　　 )

(A)√34/170　　 　　(B)√34/85　　　　　(C)1/20　　　　　(D)1/30

6．设ω = cos(π/5)+isin(π/5)，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是(　　 )

(A)x4+x3+x2+x+1=0　　　 　　　　　(B) x4-x3+x2-x+1=0

(C) x4-x3-x2+x+1=0　　　 　　　　　(D) x4+x3+x2-x-1=0
                  二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

7．arcsin(sin2000°)=__________.

8．设an是(3-√x)n的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则(32/a2+33/a3+…+3n/an)的极限=________.


9．等比数列a + log23,a + log43,a + log83的公比是____________.

10．在椭圆x2/a2+y2/b2(a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是(√5

- 1)/2，则∠ABF=____.

11．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________.


12．如果：(1)a,b,c,d都属于{1,2,3,4}；(2)a≠b,b≠c,c≠d,d≠a；(3)a是a,b,c,d中的最小值，那么，可以组成的不同的四位数的个数是_________.