初学因式分解的“四个注意”

castelu

因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第５页和第１５页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏１，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。
例１ 把－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４分解因式。
解：－ａ^２－ｂ^２＋２ａｂ＋４＝－（ａ^２－２ａｂ＋ｂ^２－４）＝－（ａ－ｂ＋２）（ａ－ｂ－２）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－９ｘ^２＋４ｙ^２＝（－３ｘ）^２－（２ｙ）^２＝（－３ｘ＋２ｙ）（－３ｘ－２ｙ）＝（３ｘ－２ｙ）（３ｘ＋２ｙ）的错误。但也不能见负号就先“提”，要对全题进行分析，
如例２ △ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ有如下关系式：－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，求证这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵－ｃ^２＋ａ^２＋２ａｂ－２ｂｃ＝０，∴（ａ＋ｃ）（ａ－ｃ）＋２ｂ（ａ－ｃ）＝０，∴（ａ－ｃ）（ａ＋２ｂ＋ｃ）＝０．
又∵ａ、ｂ、ｃ是△ＡＢＣ的三条边，∴ａ＋２ｂ＋ｃ＞０，∴ａ－ｃ＝０，
即ａ＝ｃ，△ＡＢＣ为等腰三角形。
例３把－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１分解因式。解：－１２ｘ^２ｎｙ^ｎ＋１８ｘ^ｎ＋２ｙ^ｎ＋１－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１＝－６ｘ^ｎｙ^ｎ－１（２ｘ^ｎｙ－３ｘ^２ｙ^２＋１）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“１”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉１。防止学生出现诸如６ｐ（ｘ－１）３－８ｐ２（ｘ－１）２＋２ｐ（１－ｘ）２＝２ｐ（ｘ－１）２［３（ｘ－１）－４ｐ］＝２ｐ（ｘ－１）２（３ｘ－４ｐ－３）的错误。
例４ 在实数范围内把ｘ^４－５ｘ^２－６分解因式。
解：ｘ^４－５ｘ^２－６＝（ｘ^２＋１）（ｘ^２－６）＝（ｘ^２＋１）（ｘ＋６）（ｘ－６）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如４ｘ^４ｙ^２－５ｘ２ｙ^２－９ｙ^２＝ｙ^２（４ｘ^４－５ｘ^２－９）＝ｙ^２（ｘ^２＋１）（４ｘ^２－９）的错误。
由此看来，因式分解中的四个注意贯穿于因式分解的四种基本方法之中，与因式分解的四个步骤或说一般思考顺序的四句话：“先看有无公因式，再看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适”是一脉相承的。