数列求和

战巡 · 发表于 2008-3-26 21:14:31

已知数列 $\\displaystyle a_n=n^3\\prod_{i=1}^{99}(n^2-i^2)^2$
求数列前n项和Sn

巫师无视 · 发表于 2008-9-30 15:39:42

中等数学上的模拟题

战巡 · 发表于 2008-3-28 20:57:25

原帖由战巡于 2008-3-26 21:14 发表
已知数列http://www.imathas.com/cgi-bin/mimetex.cgi?\displaystyle a_n=n^3\prod_{i=1}^{99}(n^2-i^2)^2
求数列前n项和Sn

没人做???
太难了??
好吧,现在发答案
$\\displaystyle a_n=n\\prod_{i=0}^{99}(n^2-i^2)^2$
$\\displaystyle a_n=n\\prod_{i=-99}^{99}(n-i)^2$
而 $\\displaystyle n=\\frac{(n+100)^2-(n-100)^2}{400}$
$\\displaystyle S_n-S_{n-1}=\\frac{1}{400}(\\prod_{i=-99}^{100}(n-i)^2-\\prod_{i=-100}^{99}(n-i)^2)$
$\\displaystyle S_{n-1}-S_{n-2}=\\frac{1}{400}(\\prod_{i=-100}^{99}(n-i)^2-\\prod_{i=-101}^{98}(n-i)^2)$
.........
因此
$\\displaystyle S_n-S_1=\\frac{1}{400}\\prod_{i=-99}^{100}(n+i)^2-\\prod_{i=-98}^{101}i$
$\\displaystyle S_1=a_1=0$
因此 $\\displaystyle S_n=\\frac{1}{400}\\prod_{i=-99}^{100}(n+i)^2$
所以当n≤99时,Sn=0,n>99时
$\\displaystyle S_n=\\frac{1}{400}\\frac{(n+100)!^2}{(n-98)!^2}=\\frac{1}{400}(A^{199}_{n+100})^2$

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