竞赛题

xuan2009

关于x,y的方程x^2+y^2=208(x-y)的所有正整数解为?

战巡

.........
这个题比较麻烦......
首先
x^2+y^2=208(x-y)
右边肯定是偶数，那么左边也必须是偶数，这意味着x,y同奇偶，这样有x+y,x-y都是偶数，设为2p1,2q1
然后有x=p1+q1,y=p1-q1
带入得到
(p1+q1)^2+(p1-q1)^2=208*2q1
p1^2+q1^2=208q1
右边还是偶数，左边也必须为偶数，这样p1,q1同奇偶，x=p1+q1,y=p1-q1都是偶数
然后设x=2x1,y=2y1
4x1^2+4y1^2=208*2(x1-y1)
x1^2+y1^2=104(x1-y1)
然后又像刚才一样套
x1+y1=2p2,x1-y2=2q2
p2^2+q2^2=104q2
x=4x2,y=4y2
x2^2+y2^2=52(x2-y2)
......
最后得到
p4^2+q4^2=26q4
p4^2+(q4-13)^2=13^2
对于勾股数来说，13作斜边的只有1组，那就是5,12,13
因此p4=±5,q4-13=±12、p4=±12.q4-13=±5
由于2p4=x3+y3,2q4=x3-y3,x3^2+y3^2=26(x3-y3)，所以p4>q4>0
合适的解为p4=5,q4=1，p4=12,q4=8
此时x3=6,y3=4，x3=20,y3=4
x=8x3,y=8y3
因此x=48,y=32，x=160,y=32

xuan2009

有没有再简单一点的方法?
我觉得这样太繁琐了//...