函数难题

castelu · 发表于 2008-4-5 20:16:34

题目如图

lzk05_lzk0530 · 发表于 2008-4-5 20:16:35

假设x2，x4，x5为AP
则有：x5=tanx5
2x4=x5+x2
x2=-x4
x5=3x4
那么kx4=sinx4=sin（(1/3）*x5)
（1/3）* k*x5=sin（(1/3）*x5 ）
所以 k*x5=3sin（(1/3）*x5 )
因为2л<x5<5/2л
2/3л<x4<5/6л
所以3sin(x5/3) 属于（3/2,（3/2)*√3 )
与-1<sinx4<1矛盾
所以不存在

[ 本帖最后由 lzk05_lzk0530 于 2008-4-6 10:07 编辑 ]

lzk05_lzk0530 · 发表于 2008-4-6 09:26:41

1.证明:令y=kx,y=sinx,作图易知直线y=kx与正弦曲线y=sinx在区间[2π,5/2π]内x1和[-5/22π,-2π]内x5相切,切线的斜率为k.
又y=sinx的导数为cosx,所以在x5的斜率为cos（x5）所以x5的函数值为sinx5=kx5=cos（x5）*x5，故x5=tanx5

lzk05_lzk0530 · 发表于 2008-4-6 09:31:43

2.用反证法易证.

lzk05_lzk0530 · 发表于 2008-4-6 09:50:48

请大家对此解法提出批评和建议。

castelu · 发表于 2008-4-6 16:36:39

对于第(1)问,能否通过正规的方法来解释,即理论证明,而不是通过图象,因为图象法在考试中不能直接写出来

对于第(2)问,3sin(x5/3) 属于（3/2,（3/2)*√3 )只能说明
k*x5属于（3/2,（3/2)*√3 )
而不能说明k*x4即sinx4属于（3/2,（3/2)*√3 )吧,这里有疑问

castelu · 发表于 2008-4-8 18:11:25

现在公布答案
(1)设切点为(x5,sinx5)
此时k=cosx5
y-sinx5=cosx5(x-x5)
因为切线过原点,所以(0,0)代入
x5=tanx5
(2)同3楼
但指出一点
应该是与-1<sinx5<1矛盾,估计这里是笔误
综合考虑,100悬赏数学币还是给 lzk05_lzk0530

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