几何等式的证明

石崇的BOSS

战巡

1341
石崇的BOSS 发表于 2009-12-26 14:50

如图，加了些字母.......
首先∠A=∠F=60，∠ALG=∠FLK，因此△AGL∽△FLK
同理可证△AGL∽△FLK∽△CKJ∽△EIJ∽△BHI∽△DGH
然后有a^2/f^2=S△AGL/S△FLK
a^2/S△AGL=f^2/S△FLK
同理
a^2/S△AGL=f^2/S△FLK=c^2/S△CKJ=e^2/S△EJI=b^2/S△BIH=d^2/S△DHG
然后由等比定理可知
a^2/S△AGL=(a^2+b^2+c^2)/(S△AGL+S△BHI+S△CKJ)=(d^2+e^2+f^2)/(S△DGH+S△EIJ+S△FLK)
而S△AGL+S△BHI+S△CKJ=S△ABC-S六边形GHIJKL
S△DGH+S△EIJ+S△FLK=S△DEF-S六边形GHIJKL
S△ABC=S△DEF
因此
S△AGL+S△BHI+S△CKJ=S△DGH+S△EIJ+S△FLK
a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2