一道梅尼劳斯定理的应用

高斯门徒

qtstc

不懂E文，求翻译

战巡

不懂E文，求翻译
qtstc 发表于 2010-2-6 18:03

翻译如下：
给定3个圆心、半径都不同的圆，证明这些圆的3对公切线的3个交点共线

它那个图太恶心....
我自己画个.....
如图，圆O1,O2,O3，半径r1,r2,r3，设直线P1P2交O1O2于P


由梅涅劳斯定理可得
(P1P2/P2P)(O1P/O1O2)(O2O3/O3P1)=1
可得
P2P/P1P2=(O1P*O2O3)/(O1O2*O3P1)
P1P/P1P2=(O1P*O2O3)/(O1O2*O3P1)+1
再由梅涅劳斯得
(O1O2/O2P)(PP1/P1P2)(O3P2/O1O3)=1
PP1/P1P2=(O2P*O1O3)/(O1O2*O3P2)
带入上面得
(O1P*O2O3)/(O1O2*O3P1)+1=(O2P*O1O3)/(O1O2*O3P2)(O1P*O2O3)/O2P1+O1O2=(O2P*O1O3)/O3P2
而易证O2O3/O3P1=(r2-r3)/r3，O1O3/O3P2=(r1-r3)/r3
带入得
(r2-r3)/r3*O1P+O1O2=(r1-r3)/r3*O3P2
再带入O1O2=O1P-O2P得
r2/r3*O1P=r1/r3*O2P
O2P/O1P=r2/r1
易证O2P3/O1P3=r2/r1
因此O2P/O1P=O2P3/O1P2
O2P=O2P3
故P，P3重合，P1,P2,P3共线