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[已解决] 不等式竞赛题一道

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楼主
发表于 2010-5-2 14:44:27 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
设a,b,c>0,且a+b+c=2S
求证:对任意正整数n,有 成立,其中 表示循环和。
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沙发
发表于 2010-5-9 22:06:47 | 只看该作者
切比雪夫不等式或者Holder不等式都行
切比雪夫不妨设a>=b>=c  a^(n-1)>=b^(n-1)>=c^(n-1)  1/(b+c)>=1/(a+c)>=1/(a+b)
LHS>=1/3(a+b+c)(a^(n-1)/(b+c)+b^(n-1)/(c+a)+c^(n-1)/(a+b)>=1/3(a+b+c)*1/3(a+b+c)(a^(n-2)/(b+c)+b^(n-2)/(a+c)+c^(n-2)/(a+b))>=……>=(2/3S)^(n-1)(a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b))
因为a/(b+c)+b/(c+a)+c/(a+b)>=3/2是熟知的
LHS>=(2/3)^(n-2)S^(n-1)
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板凳
发表于 2010-5-9 22:10:16 | 只看该作者
Holder不等式
LHS*((b+c)+(c+a)+(a+b))*(1+1+1)^(n-2)>=(a+b+c)^n
LHS>=(2/3)^(n-2)S^(n-1)
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地板
 楼主| 发表于 2010-5-10 22:26:19 | 只看该作者
敢问LHS是原式的意思吗?
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5#
发表于 2010-5-10 22:28:23 | 只看该作者
是的,难得写了,拿个字母表示!
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6#
发表于 2010-5-10 23:47:45 | 只看该作者
LHS是原式左边的意思。。。相应地,RHS表示右边
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