一道自招的整除性质的题

Txia

已知7a-(b^2)>0，a(b^2)+b+7整除7a-(b^2)，求满足条件的所有的正整数对(a,b)。

Txia

这道题方法很多，你选取的方法，直接决定你的运算量！我是做出来了的，但现在不放答案。

Hsuan

[tex]n=\frac{7a-b^2}{ab^2+b+7}=\frac{nab^2+\left(7-nab^2 \right)a-b^2}{ab^2+b+7}[/tex]
[tex]n=\frac{\left(7-nab^2 \right)a-b^2}{b+7}[/tex]
[tex]a=\frac{b^2+nb+7n}{7-nab^2}[/tex]
7>nab^2;
7>b^2;b=1或2
逐个代入，得数对为（11,1）（49,1）.

Txia

Hsuan 发表于 2014-7-12 18:49
7>nb^2;
7>b^2;b=1或2
逐个代入，得数对为（11,1）（49,1）.

b=2你是怎么排除的？能补充一下吗？

Hsuan

Txia 发表于 2014-7-12 19:10
b=2你是怎么排除的？能补充一下吗？

b=2,7a-4=n(4a+9)=4n*a+9n;n<2;7a-4=4a+9;解得a=13/3∉Z+.排除

Txia

Hsuan 发表于 2014-7-12 19:46
b=2,7a-4=n(4a+9)=4n*a+9n;n

漂亮！！

Txia

集合上面的Husan和我的方法，应该来说是最简单的方法了

解：因为[a(b^2)+b+7]|[7a-(b^2)]，所以a(b^2)+b+7≤7a-(b^2)，即a[(b^2)-7]≤-(b^2)-b-7<0
得b^2<7，故b=1或b=2
(1)当b=1时，(a+8)|(7a-1)，有(7a-1)/(a+8)=7-57/(a+8)，所以(a+8)|57
得：a=11或49
(2)当b=2时，令7a-4=k(4a+9)，因为k∈N*，a∈N*
故只有k=1，7a-4=4a+9，得a=13/3，不是正整数，舍去。
综合上述：a=11或49
此时，(a,b)=(11,1)或(49,1)