圆锥曲线

quantum

请问这个怎么证明

castelu

过椭圆上一点$P(x_0,y_0)$的椭圆切线方程是：
$$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$$
然后利用向量数量积可以解决。

quantum

castelu 发表于 2014-8-24 21:00
过椭圆上一点$P(x_0,y_0)$的椭圆切线方程是：
$$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$$
然后利用向量数 ...

可以麻烦写下过程吗，我怎么也不法联系上那两点的韦达定理

castelu

这道题目不是很好做，现在只写出一部分，
设切线和圆的左右交点分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，
椭圆的左焦点为$F_1(-c,0)$，$\vec {F_1A}=(x_1+c,y_1)$，$\vec {BA}=(x_2-x_1,y_2-y_1)$，
根据垂直关系，$\vec {F_1A} \cdot \vec {BA}=0$，
于是，$x_1x_2-x_1^2+cx_2-cx_1+y_1y_2-y_1^2$，
上面交点坐标之间的关系利用点同时在切线和圆上，满足圆方程和联立方程，再配合韦达定理求解，
不过最后的式子很繁琐，你自己计算试试。

quantum

castelu 发表于 2014-8-25 20:21
这道题目不是很好做，现在只写出一部分，
设切线和圆的左右交点分别为$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，
椭圆 ...

还是没能算出

Hsuan

计算确实麻烦，但按照楼上的做法，还是能够证明出来。