裴礼文 一元函数的连续性 182页 练习2.4.4 解答

castelu

练习2.4.4：

　　证明：若$f(x)$在$R$上满足方程$f(x+y)=f(x)+f(y)$，则如下三条件等价：
（1）$f(x)$在$x=0$处连续；
（2）$f(x)$在$R$上连续；
（3）$\exists \delta>0$，$f(x)$在$(-\delta,\delta)$上有界。

---

解：
（1）⇒（2）
　　在
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
　　中，令
$$y=0$$
　　得到
$$f(0)=0$$
　　由于$f(x)$在$x=0$处连续，可知
$$\lim\limits_{x \to 0}f(x)=f(0)$$
　　于是
$$\forall x_0 \in R$$
$$\lim\limits_{x \to x_0}f(x)=\lim\limits_{\Delta x \to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\lim\limits_{\Delta x \to 0}f(\Delta x)=f(x_0)$$
　　所以，$f(x)$在$R$上连续。
（2）⇒（3）
　　$f(x)$在$R$上连续
$$\exists \delta>0$$
　　$f(x)$在$[-\delta,\delta]$上连续
　　由闭区间上连续函数的性质可知，$f(x)$在$[-\delta,\delta]$上连续有界
　　从而$f(x)$在$(-\delta,\delta)$上有界。
（3）⇒（1）
　　由
$$f(x+y)=f(x)+f(y)$$
　　可以推出
$$\forall n \in N$$
　　有
$$f\left(\frac{1}{n}x\right)=\frac{1}{n}f(x)$$
　　及
$$f(0)=0$$
　　于是
$$|f(x)-f(0)|=|f(x)|=\left|f\left(\frac{1}{n}nx\right)\right|=\frac{1}{n}|f(nx)|$$
　　因$f(x)$在$(-\eta,\eta)$内有界，即
$$\exists M>0$$
　　当
$$-\eta < x < \eta$$
　　时有
$$|f(x)| \le M$$
$$\forall \epsilon>0$$
　　令
$$n>\frac{M}{\epsilon}$$
　　取
$$\delta=\frac{\eta}{n}$$
　　则
$$|x|<\delta$$
　　时
$$|nx|<\eta$$
　　可知
$$|f(x)-f(0)| \le \frac{M}{n} < \epsilon$$
　　故$f(x)$在$x=0$处连续。